Propriété des carrés

[lidlkidjoe]

Bonjour, en me creusant un peu la tête pour calculer les carrés des nombres tels que : 17; 18, 19 ... 37, 65, 168 etc.
J'ai découvert se qui me semble être une propriété ou astuces , en tous cas un moyen plus simple de les trouver.
Je m'explique :

Pour trouver 19² (de tête) : prendre 20²=400 et le garder en tête ; ensuite remarquer que 20 - 19 = 1 puis multiplier 1 par 2 puis par 19 , y ajouter le carré de 1 et
soustraire le tout à 400. Soit :

19² = 20² - (19*2*1)+1² = 361

18² = 20² - (18*2*2)+2² = 324

67² = 70² - (67*2*3)+3² = 4489

Est-ce que c'est une propriété connue ? Peut-on l'exprimer mathématiquement ?

En tout cas merci d'avance de vos éventuelles réponses.
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[Seirios]

Bonjour,

Tu as .

EDIT : Tes calculs ne semblent pas corrects.

[eudea-panjclinne]

@Seirios :Tes calculs ne semblent pas corrects.
C'est un problème de parenthésage. @lidlkidjoe a mis implicitement des parenthèses autour des deux derniers termes

[Deedee81]

Salut,

Je confirme les erreurs.

Exemple :

67² = 70² - (67*2*3)+3² = 4489

67² c'est bien 4489.
Mais 70² - (67*2*3)+3² = 4507

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

EDIT croisement, en effet, tu as raison, c'est juste une erreur de parenthèses. Désolé

[eudea-panjclinne]

La formule utilisée par @lidlkidjoe est :
avec le bon parenthèsage.
@lidlkidjoe : Excellente réflexion !

[lidlkidjoe]

67*2*3= 402 + 3² = 411 et
4900 - 411 = 4489
Me semble-t-il

[lidlkidjoe]

Merci beaucoup pour la traduction !! @eudea-panjclinne

[Dynamix]

Salut

Est-ce que c'est une propriété connue ?

Hyper connue (identité remarquable)

Peut-on l'exprimer mathématiquement ?

(a+b)² = a² + 2ab +b²
(a-b)² = a² - 2ab +b²

[lidlkidjoe]

@ Dynamix

J'ai l'impression que ça ne fonctionne pas écris sans les parenthèses , comme dis plus haut.

[gg0]

Ce qu'a écrit Dynamix s'apprend actuellement en classe de troisième de collège, écrit comme il l'a écrit.

Pourquoi ces questions de niveau débutant en algèbre dans le forum du supérieur ?

Cordialement.

[Dynamix]

J'ai l'impression que ça ne fonctionne pas écris sans les parenthèses

https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_remarquable

[Deedee81]

Utiliser cette identité remarquable pour calculer de tête est assez sympa je trouve. Mais :

Ce qu'a écrit Dynamix s'apprend actuellement en classe de troisième de collège, écrit comme il l'a écrit.
Pourquoi ces questions de niveau débutant en algèbre dans le forum du supérieur ?

Là, oui, faudrait peut-être déplacer.

[lidlkidjoe]

Heu, désolé si ça semble basique mais la seule forme qui fontionne vient de @eudea..

[gg0]

Voyons !!

la formule de Eudea-Panjcline est exactement la première formule de Dynamix, écrite autrement. Bien sûr, si tu appliques des formules sans savoir pourquoi ...
Un bon conseil : Prends le temps d'apprendre les mathématiques que tout le monde voit depuis que la scolarité a été portée à 16 ans (vers 1965). Ça te permettra de comprendre que Dynamix ne traitait pas de ta "découverte" (*) mais répondait à tes questions "Est-ce que c'est une propriété connue ? Peut-on l'exprimer mathématiquement ?". C'est d'ailleurs très précisément dit dans son message.

(*) connue depuis deux bons millénaires, même si à l'époque on l'écrivait géométriquement et pas algébriquement; connue de tous ceux qui font du calcul mental.

[lidlkidjoe]

Merci @gg0 pour tes réponses très constructives, je tacherai de faire preuve de plus d'humilité à l'avenir et j'apprendrai les bases.

Cdt.

[Dynamix]

67² = 70² - (67*2*3)+3² = 4489

Il ne s' agit pas d' une erreur de parenthèses , mais d' une erreur de signe .
67² = 70² - 67*2*3 - 3² = 4489

[lidlkidjoe]

4900 - 402 - 9 = ?

J'aurais peut-être dû écrire : 67² = 70² - [ (67*2*3) + 3² ]

[eudea-panjclinne]

Soyons positif
Cette évidemment "redécouverte" par @lidlkidjoe, montre que des propriétés mathématiques peuvent être trouvées spontanément à l'occasion de calcul mental, le calculateur remarque une propriété curieuse, qu'il généralise à d'autres calculs du même genre : aucun axiome, théorème formel, pratique algébrique n'interviennent apparement ici. On peut imaginer que c'est ainsi que l'arithmétique du second degré babylonienne (*) a été découverte.
(*) Période Paléo-Babylonienne, vers -1600 selon Otto Neugebauer, Les sciences exactes dans l'Antiquité.

[Dynamix]

4900 - 402 - 9 = ?

4900 - 402 - 9 = 4489
Ou est le problème ?

J'aurais peut-être dû écrire : 67² = 70² - [ (67*2*3) + 3² ]

Pourquoi t' embêter avec des parenthèses qui ne servent à rien ?

[Deedee81]

Salut,

Il ne s' agit pas d' une erreur de parenthèses , mais d' une erreur de signe .

Pour le coup, ça revient au même

[eudea-panjclinne]

Il ne s' agit pas d' une erreur de parenthèses , mais d' une erreur de signe

Pas d'accord, l'erreur de signe peut être aléatoire, ce n'est pas le cas ici, l'erreur est systématique et toujours la même et correspond à un manque de connaissances mathématiques de @lidlkidjoe qui ne connait pas ou mal le rôle des parenthèses. Mis à part cette erreur, ses calculs sont cohérents.

[Deedee81]

Pas d'accord, l'erreur de signe peut être aléatoire, ce n'est pas le cas ici, l'erreur est systématique et toujours la même et correspond à un manque de connaissances mathématiques de @lidlkidjoe qui ne connait pas ou mal le rôle des parenthèses. Mis à part cette erreur, ses calculs sont cohérents.

L'erreur de signe aussi peut parfois être systématique

[lidlkidjoe]

Je comprends @Dynamix 67² = 70² - [ (67*2*3) + 3² ] = 7.² - 67*2*3 - 3² c'est pareil car : paranthèse, puissance , multiplication <=> Division puis addition <=> soustraction pour les priorités de calcul .
C'est bien ça ? par-contre je ne vois pas l'identité remarquable... 70² pour A 67*2*3 - 3² pour B ?
Je souhaite juste rappeler pour chacun qui lira, je ne prétends révolutionner les maths , je suis juste heureux d'avoir trouver une """"propriété"""" qui me permette de trouver facilement de grands carrés de tête et je souhaitais simplement la formuler correctement mathématiquement. J'ai toujours l'impression que A² - B² ne fonctionne pas. Si vous pouviez me montrer mon erreur j'en serais très heureux.
Merci en tout cas de prendre le temps de m'expliquer et de m'aiguiller .
Cdt.

[bdom001]

Bonjour lidlkidjoe et tout le groupe
l'identité remarquable dont il est question sur ce fil est cas particulier d'une propriété de la multiplication par rapport à l'addition : la distributivité.

Sa mise en œuvre la plus simple stipule que a(b + c) = ab + ac
mais on a aussi : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Cette technique peut se généraliser quelque soit le nombre de facteurs et le nombre de termes de chacun des facteurs.

Le fait d'appliquer cette propriété s'appelle "Développement" ... c'est un processus routinier est donc très facile
L'inverse se nomme "Factorisation" ... ce processus peut s'avérer selon les cas très difficile voire impossible.


ainsi (a - b)² = (a - b)(a - b) = a² -ab -ba +(-b)² = a² -2ab + b² ... (sans parenthèses)
soit l'équivalent de votre formulation : a² = (a - b)² + 2ab - b² ... (sans parenthèses)


ou bien : (a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² ... (sans parenthèses)
soit pour vous : a² = (a+b)² - 2ab - b² ... (sans parenthèses)
ou encore a² = (a+b)² - (2ab + b²) ... (avec les parenthèses)


Une autre identité remarquable (factorisation) : a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ... je vous laisse vérifier en appliquant la distributivité ...

Cordialement

[Dynamix]

Identité remarquable :
70² = 67² + 2*67*3 + 3²
Tu passes (+ 2*67*3 + 3²) de l' autre coté en changeant , bien sur , de signe .
70² - 2*67*3 - 3² = 67²

Tu aurais pu aussi bien utiliser :
67² = 70² -2*70*3 + 3²

[stefjm]

Pourquoi t' embêter avec des parenthèses qui ne servent à rien ?

Mieux vaut une paires de parenthèses qui ne servent à rien, qu'une erreur.
Je fréquente des bacheliers S qui n'ont aucune idée des priorités des opérations : le parenthésage les sauve, parfois.

[lidlkidjoe]

Merci @Dynamix , je vois mieux l'identité : 67² + 2*67*3 + 3²
A² + 2AB + B²
... il m'aura fallu sortir de mon schéma
et du coup se que je trouve pratique c'est obtenir 67² grâce à 2AB+ B² qu'on enlève de 70²

[gg0]

Mais tu peux aussi calculer
67²=(60+7)²=3600+2*60*7+49=448 9
C'est plus pratique pour
61²=3600+2*60+1=3721
72² = 4900 +2*2*70+4=5184

En fait, les règles élémentaires d'algèbre permettent de simplifier bien des calculs :
72*68 = (70+2)(70-2)=4900-4=4896

Cordialement.

[lidlkidjoe]

Merci @gg0 pour le (a+b)(a-b) effectivement ça simplifie grandement le calcul.

Je suis en train de lire un vieux manuel de math (1966) j'y trouverai sûrement les bases qu'il me manque.