Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

**mehdi_128** · 05/10/2018, 15h03

Bonjour,

Dans mon livre on démontre un théorème hors programme en MPSI mais qui a l'air très intéressant.

Mais j'ai un doute sur 2 choses :

Y aurait pas une coquille : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ à la place de b ?

Pourquoi on choisis des sous intervalles de la forme $\text{[math]}$ fermés en $\text{[math]}$ et ouverts en $\text{[math]}$ ?

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**Tryss2** · 05/10/2018, 15h56

1) Oui
2) Parce qu'on veut une partition de [a,b] par des intervalles, et que c'est une des solution les plus simple.

**ansset** · 05/10/2018, 16h06

c'est bien =f(b)
le principe est d'encadrer f(x) sur chaque intervalle par des fonctions en escalier sur des intervalles de plus en plus petit.( quand on augmente n )
par voie de conséquence ( et définitions des fct : min(f) et max(f) ) sur chaque intervalle $\text{[math]}$
et comme la fct est continue , les deux fonctions convergent vers f(x)

pourquoi les intervalles sont fermé à gauche et ouverts à droite ?
pour qu'il n'y ait qu'une définition possible ( les intervalles se succèdent sans se recouvrir )
mais il faut bien finir de couvrir l'intervalle total , donc de definir \varphi et \psi en b.

en fait ce "concept" est à relié aux sommes et intégrales de Riemann, pour l'intégration.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann

**mehdi_128** · 05/10/2018, 17h38

D'accord merci Ansset je vais essayer de dessiner le graphique en dessinant les $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 05/10/2018, 17h40

Pourquoi vous parlez de Min et de Max ?

Ici on utilise l'Inf et le Sup, les bornes ne sont pas forcément atteintes surtout qu'on ouvre l'intervalle en a_k

**ansset** · 05/10/2018, 17h48

Envoyé par mehdi_128

Pourquoi vous parlez de Min et de Max ?

Ici on utilise l'Inf et le Sup, les bornes ne sont pas forcément atteintes surtout qu'on ouvre l'intervalle en a_k

parce que c'est ainsi que sont définies les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sur chaque intervalle.
c'est dans ton texte !
comprend pas la dernière phrase , quelles bornes ?
enfin $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont bien définis et une seule fois ( sur l'intervalle ouvert auquel il appartient )

et effectivement, faire un dessin permet de bien visualiser

**ansset** · 05/10/2018, 17h56

ps : un minorant ou un majorant sur un intervalle n'est pas forcement une "borne atteinte".
ainsi 1 est bien le plus petit majorant de la fonction f(x)=x sur l'intervalle [0,1[
donc 1 est bien le sup(f) sur cet intervalle.

je corrige donc ce que j'ai dit plus haut ( sur les termes employés ) , d'ailleurs ton texte parle bien de sup et inf et non de min et max !

**mehdi_128** · 05/10/2018, 18h09

Ok Ansset j'ai réfléchis à pourquoi on utilisait le Sup et pas le Max mais je viens de comprendre en faisant un dessin, comme l'intervalle est ouvert en $\text{[math]}$ la borne supérieure n'est pas forcément atteinte. Après on prend le plus petit majorant logique on veut approximer la fonction !

Voilà votre exemple est parfait pour l'expliquer

J'ai fait un dessin

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**ansset** · 05/10/2018, 18h48

super, et désolé pour ma mauvaise expression plus haut. ( max/sup )
c'est aussi vrai pour le inf comme tu t'en doute.
reste qu'on comprend bien ( grâce à la continuité de f ) la fin du texte du théorème en question
qui en gros dit , pour un $\text{[math]}$ donné, avec n assez grand:
$\text{[math]}$

**mehdi_128** · 06/10/2018, 16h44

Je poursuis la démo, j'ai un souci dans le final

On a trouvé : $\text{[math]}$

f est continue sur un segment $\text{[math]}$ elle y est donc uniformément continue d'après le théorème de Heine.

$\text{[math]}$

Le pas de la subdivision est : $\text{[math]}$

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Alors : $\text{[math]}$

Pour avoir : $\text{[math]}$ prenons : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ (trivial)

Ainsi : $\text{[math]}$

Mais comme f est uniformément continue sur $\text{[math]}$ on en déduit :

$\text{[math]}$

A partir de là je bloque. J'ai pas compris le passage en rouge. Comment on sait qu'il y aura un intervalle ou le Sup et l'Inf sont atteints ? En plus les intervalles considérés prennent pas en compte le point a_n ...

Cette inégalité étant valable pour chaque $\text{[math]}$ en particuliers pour un x tel que $\text{[math]}$ et pour un y tel que $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 06/10/2018, 16h58

Si le Sup ou le Inf est atteint pour $\text{[math]}$ il se passe quoi ? C'est faux ?

C'est ce point qui me gêne

**ansset** · 06/10/2018, 17h25

pourquoi tu "travailles" sur f alors qu'il faut le faire sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,
sachant qu'ils représentent les sup et inf de f sur chaque intervalle et que f est continue.

l'idée globale est, en utilisant la continuité, de f d'aboutir à
soit un $\text{[math]}$ donné
1 ) pour un intervalle donné $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ minimum tel que , sur cet intervalle $\text{[math]}$
2) de généraliser à l'ensemble des intervalles en prenant le plus grand des $\text{[math]}$

**ansset** · 06/10/2018, 17h35

ma première remarque est mal dite:
il faut bien travailler sur f mais dans ta "démo" tu ne mentionnes pas $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ !!! Or,c'est le but.
deuxième remarque , une déduction fausse car tu dis
` $\text{[math]}$ !!!!

**ansset** · 06/10/2018, 17h46

mais je sens que tu va me dire qu'il y a un soucis si le sup ou le inf se trouve en a_k ! ( en dehors de l'intervalle ouvert )

**mehdi_128** · 06/10/2018, 18h04

Je mets la fin de la démo : en fait j'aime cette démo j'ai tout compris sauf la ligne suivante :

Cette inégalité étant valable pour chaque $\text{[math]}$ en particuliers pour un x tel que $\text{[math]}$ et pour un y tel que $\text{[math]}$

Je dirais la fonction est continue sur [a,b] donc elle est bornée et atteint ses bornes donc le Sup et l'Inf sont atteints mais toujours ce problème en $\text{[math]}$

Alors : $\text{[math]}$

On avait posé : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (voir la photo que j'ai mise au début)

Soit : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

**ansset** · 06/10/2018, 18h21

Tu veux dire le pb en chaque $\text{[math]}$ je suppose ( donc à chaque fin d'intervalle ) , au cas ou le sup ou le inf s'y trouverai.

considérer dans ce cas que $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ est la limite de f(x) en ce point, donc l'inégalité s'applique par continuité.
ce qui revient à considérer le prolongement fc de f par continuité sur l'intervalle fermé $\text{[math]}$ avec
$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

**ansset** · 06/10/2018, 18h30

Pour ceci ;

Envoyé par mehdi_128

Je mets la fin de la démo : en fait j'aime cette démo j'ai tout compris sauf la ligne suivante :

Cette inégalité étant valable pour chaque $\text{[math]}$ en particuliers pour un x tel que $\text{[math]}$ et pour un y tel que $\text{[math]}$
........

c'est ça , la fin de la démo ?
c'est insuffisant, car on en déduit simplement qu'il existe un $\text{[math]}$ pour chaque intervalle .
donc intervalle suffisamment petit pour assurer le < eps sur cet intervalle.

**mehdi_128** · 06/10/2018, 18h31

Ah merci Ansset bien vu

Du coup vu qu'elle continue sur $\text{[math]}$ donc en tout point de ce segment donc aussi en $\text{[math]}$ !

$\text{[math]}$

On peut donc prolonger par continuité en $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 06/10/2018, 18h34

Envoyé par ansset

Pour ceci ;

c'est ça , la fin de la démo ?
c'est insuffisant, car on en déduit simplement qu'il existe un $\text{[math]}$ pour chaque intervalle .
donc intervalle suffisamment petit pour assurer le < eps sur cet intervalle.

Oui c'est la fin. C'est quoi votre n_k ? J'ai pas compris depuis que vous avez introduit ce n_k ça renvoie à quoi.

**ansset** · 06/10/2018, 18h43

il faudrait la démo complète d'un bloc , parce que ce n'est pas clair.
tu dis ( toi ou la démo ) que tu choisi ton $\text{[math]}$ pour un 'intervalle donné.
celui ci dépend donc des Mk et mk de chaque intervalle , et il est en rapport avec n.
donc il y a un $\text{[math]}$ et donc un n minimum sur chaque intervalle, que j'appelle nk

la bonne conclusion est de prendre n = max des nk, pour s'assurer du < eps partout

car les Mk et mk sont différents sur chaque intervalle ( j'enfonce le clou là )

**mehdi_128** · 06/10/2018, 18h56

Ok je mets le passage exact pour moi c'est fou, il parle pas de prolongement par continuité. Peut être qu'ils considère 2 cas ?
Et le n choisi a l'air de marcher pour tous les intervalles.

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**ansset** · 06/10/2018, 21h32

j'ai saisi , en fait , le raisonnement de la démo est presque inverse.
la demo prend l'intervalle dans sa globalité comme point de départ.
donc indirectement ils font intervenir M et m sur l'ensemble de l'intervalle.

par continuité on déduit qu'il existe un $\text{[math]}$ |x-y|< $\text{[math]}$ => |f(x)-f(y)| < $\text{[math]}$
on trouve un n qui est "ad-hoc" à ce $\text{[math]}$ .
et comme la relation est vraie sur l'intervalle entier , elle l'est forcement sur chacun.

mais comme au départ je n'avais que la première partie de la démo, j'ai proposé une autre voie.

**mehdi_128** · 07/10/2018, 01h56

Yes par contre l'auteur n'est pas très rigoureux, comme avec l'intervalle ouvert c'est faux que le Sup et l'Inf sont atteints en même temps bref comme m'a conseillé Ggo je vais changer de livre, je vais le vendre.
J'arriverai pas à avoir les idées clairs avec ce livre, il me fait faire des confusions et perdre trop de temps.

J'ai vu un livre qui a l'air sérieux : J'intègre Maths MPSI tout en un DUNOD Claude Deschamps François Moulin année 2018.

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