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Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers




  1. #1
    mehdi_128

    Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Bonjour,

    Dans mon livre on démontre un théorème hors programme en MPSI mais qui a l'air très intéressant.

    Mais j'ai un doute sur 2 choses :

    Y aurait pas une coquille : et à la place de b ?

    Pourquoi on choisis des sous intervalles de la forme fermés en et ouverts en ?

    43149274_106717370262152_5500765027751165952_n.jpg

    -----


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  3. #2
    Tryss2

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    1) Oui
    2) Parce qu'on veut une partition de [a,b] par des intervalles, et que c'est une des solution les plus simple.

  4. #3
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    c'est bien =f(b)
    le principe est d'encadrer f(x) sur chaque intervalle par des fonctions en escalier sur des intervalles de plus en plus petit.( quand on augmente n )
    par voie de conséquence ( et définitions des fct : min(f) et max(f) ) sur chaque intervalle
    et comme la fct est continue , les deux fonctions convergent vers f(x)

    pourquoi les intervalles sont fermé à gauche et ouverts à droite ?
    pour qu'il n'y ait qu'une définition possible ( les intervalles se succèdent sans se recouvrir )
    mais il faut bien finir de couvrir l'intervalle total , donc de definir \varphi et \psi en b.

    en fait ce "concept" est à relié aux sommes et intégrales de Riemann, pour l'intégration.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !


  5. #4
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    D'accord merci Ansset je vais essayer de dessiner le graphique en dessinant les et

  6. #5
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Pourquoi vous parlez de Min et de Max ?

    Ici on utilise l'Inf et le Sup, les bornes ne sont pas forcément atteintes surtout qu'on ouvre l'intervalle en a_k

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Pourquoi vous parlez de Min et de Max ?

    Ici on utilise l'Inf et le Sup, les bornes ne sont pas forcément atteintes surtout qu'on ouvre l'intervalle en a_k
    parce que c'est ainsi que sont définies les fonctions et sur chaque intervalle.
    c'est dans ton texte !
    comprend pas la dernière phrase , quelles bornes ?
    enfin et sont bien définis et une seule fois ( sur l'intervalle ouvert auquel il appartient )

    et effectivement, faire un dessin permet de bien visualiser
    Dernière modification par ansset ; 05/10/2018 à 17h51.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #7
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    ps : un minorant ou un majorant sur un intervalle n'est pas forcement une "borne atteinte".
    ainsi 1 est bien le plus petit majorant de la fonction f(x)=x sur l'intervalle [0,1[
    donc 1 est bien le sup(f) sur cet intervalle.

    je corrige donc ce que j'ai dit plus haut ( sur les termes employés ) , d'ailleurs ton texte parle bien de sup et inf et non de min et max !
    Dernière modification par ansset ; 05/10/2018 à 18h00.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. Publicité
  11. #8
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Ok Ansset j'ai réfléchis à pourquoi on utilisait le Sup et pas le Max mais je viens de comprendre en faisant un dessin, comme l'intervalle est ouvert en la borne supérieure n'est pas forcément atteinte. Après on prend le plus petit majorant logique on veut approximer la fonction !

    Voilà votre exemple est parfait pour l'expliquer

    J'ai fait un dessin

    int.png

  12. #9
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    super, et désolé pour ma mauvaise expression plus haut. ( max/sup )
    c'est aussi vrai pour le inf comme tu t'en doute.
    reste qu'on comprend bien ( grâce à la continuité de f ) la fin du texte du théorème en question
    qui en gros dit , pour un donné, avec n assez grand:
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Je poursuis la démo, j'ai un souci dans le final

    On a trouvé :

    f est continue sur un segment elle y est donc uniformément continue d'après le théorème de Heine.



    Le pas de la subdivision est :

    Soient et



    Alors :

    Pour avoir : prenons : (trivial)

    Ainsi :

    Mais comme f est uniformément continue sur on en déduit :



    A partir de là je bloque. J'ai pas compris le passage en rouge. Comment on sait qu'il y aura un intervalle ou le Sup et l'Inf sont atteints ? En plus les intervalles considérés prennent pas en compte le point a_n ...

    Cette inégalité étant valable pour chaque en particuliers pour un x tel que et pour un y tel que
    Dernière modification par mehdi_128 ; 06/10/2018 à 16h47.

  14. #11
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Si le Sup ou le Inf est atteint pour il se passe quoi ? C'est faux ?

    C'est ce point qui me gêne

  15. #12
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    pourquoi tu "travailles" sur f alors qu'il faut le faire sur et ,
    sachant qu'ils représentent les sup et inf de f sur chaque intervalle et que f est continue.

    l'idée globale est, en utilisant la continuité, de f d'aboutir à
    soit un donné
    1 ) pour un intervalle donné , il existe minimum tel que , sur cet intervalle
    2) de généraliser à l'ensemble des intervalles en prenant le plus grand des
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #13
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    ma première remarque est mal dite:
    il faut bien travailler sur f mais dans ta "démo" tu ne mentionnes pas et !!! Or,c'est le but.
    deuxième remarque , une déduction fausse car tu dis
    `!!!!
    Dernière modification par ansset ; 06/10/2018 à 17h37.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #14
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    mais je sens que tu va me dire qu'il y a un soucis si le sup ou le inf se trouve en a_k ! ( en dehors de l'intervalle ouvert )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Je mets la fin de la démo : en fait j'aime cette démo j'ai tout compris sauf la ligne suivante :

    Cette inégalité étant valable pour chaque en particuliers pour un x tel que et pour un y tel que

    Je dirais la fonction est continue sur [a,b] donc elle est bornée et atteint ses bornes donc le Sup et l'Inf sont atteints mais toujours ce problème en

    Alors :

    On avait posé : et (voir la photo que j'ai mise au début)

    Soit : pour

    Or donc
    Dernière modification par mehdi_128 ; 06/10/2018 à 18h06.

  19. #16
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Tu veux dire le pb en chaque je suppose ( donc à chaque fin d'intervalle ) , au cas ou le sup ou le inf s'y trouverai.

    considérer dans ce cas que ou est la limite de f(x) en ce point, donc l'inégalité s'applique par continuité.
    ce qui revient à considérer le prolongement fc de f par continuité sur l'intervalle fermé avec
    ou
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Pour ceci ;
    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Je mets la fin de la démo : en fait j'aime cette démo j'ai tout compris sauf la ligne suivante :

    Cette inégalité étant valable pour chaque en particuliers pour un x tel que et pour un y tel que
    ........
    c'est ça , la fin de la démo ?
    c'est insuffisant, car on en déduit simplement qu'il existe un pour chaque intervalle .
    donc intervalle suffisamment petit pour assurer le < eps sur cet intervalle.
    Dernière modification par ansset ; 06/10/2018 à 18h32.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #18
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Ah merci Ansset bien vu

    Du coup vu qu'elle continue sur donc en tout point de ce segment donc aussi en !



    On peut donc prolonger par continuité en

  22. #19
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    Pour ceci ;


    c'est ça , la fin de la démo ?
    c'est insuffisant, car on en déduit simplement qu'il existe un pour chaque intervalle .
    donc intervalle suffisamment petit pour assurer le < eps sur cet intervalle.
    Oui c'est la fin. C'est quoi votre n_k ? J'ai pas compris depuis que vous avez introduit ce n_k ça renvoie à quoi.

  23. #20
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    il faudrait la démo complète d'un bloc , parce que ce n'est pas clair.
    tu dis ( toi ou la démo ) que tu choisi ton pour un 'intervalle donné.
    celui ci dépend donc des Mk et mk de chaque intervalle , et il est en rapport avec n.
    donc il y a un et donc un n minimum sur chaque intervalle, que j'appelle nk

    la bonne conclusion est de prendre n = max des nk, pour s'assurer du < eps partout

    car les Mk et mk sont différents sur chaque intervalle ( j'enfonce le clou là )
    Dernière modification par ansset ; 06/10/2018 à 18h45.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #21
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Ok je mets le passage exact pour moi c'est fou, il parle pas de prolongement par continuité. Peut être qu'ils considère 2 cas ?
    Et le n choisi a l'air de marcher pour tous les intervalles.

    43248226_297482927749801_8854801265184473088_n.jpg

    43286834_147305116222014_2000087143564705792_n.jpg

  25. #22
    ansset

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    j'ai saisi , en fait , le raisonnement de la démo est presque inverse.
    la demo prend l'intervalle dans sa globalité comme point de départ.
    donc indirectement ils font intervenir M et m sur l'ensemble de l'intervalle.

    par continuité on déduit qu'il existe un |x-y|< => |f(x)-f(y)| <
    on trouve un n qui est "ad-hoc" à ce .
    et comme la relation est vraie sur l'intervalle entier , elle l'est forcement sur chacun.

    mais comme au départ je n'avais que la première partie de la démo, j'ai proposé une autre voie.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #23
    mehdi_128

    Re : Fonction continue approchée par des fonctions en escaliers

    Yes par contre l'auteur n'est pas très rigoureux, comme avec l'intervalle ouvert c'est faux que le Sup et l'Inf sont atteints en même temps bref comme m'a conseillé Ggo je vais changer de livre, je vais le vendre.
    J'arriverai pas à avoir les idées clairs avec ce livre, il me fait faire des confusions et perdre trop de temps.

    J'ai vu un livre qui a l'air sérieux : J'intègre Maths MPSI tout en un DUNOD Claude Deschamps François Moulin année 2018.

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