Fonction continue en aucun point dont la valeur absolue est continue en tout point

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'essaye de déterminer l'expression d'une fonction qui ne soit continue en aucun point, mais dont la valeur absolue soit continue en tout point ; j'ai trouvé ceci, mais j'aimerais savoir si c'est correct :

On définit une fonction T-périodique telle que ; puis on pose , qui correspond à la contrainte ci-dessus, puisque pour tout , et .

L'idée doit être bonne, mais est-ce rigoureusement correcte ?

Merci d'avance
Phys2
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[Coincoin]

Salut,
Le problème c'est qu'il faut être sûr que la limite T->0 existe.

Dans le même genre, je te propose : 1 si x est dans Q, -1 si c'est dans R-Q.

[Seirios]

Le problème c'est qu'il faut être sûr que la limite T->0 existe.

Effectivement, je vais voir si je peux rendre mon raisonnement un peu plus rigoureux.

Dans le même genre, je te propose : 1 si x est dans Q, -1 si c'est dans R-Q.

C'est celle que l'on a dans le cours, donc j'en cherchais une autre

[Thorin]

Effectivement, je vais voir si je peux rendre mon raisonnement un peu plus rigoureux.

plus précisément, il me semble que si l'on prend un x donné dans R, que l'on fixe, et qu'on étudie la fonction qui à T associe , on peut constater que cette fonction n'admet pas de limite en 0. A partir de ce moment, la définition de est peu claire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Salut,
Le problème c'est qu'il faut être sûr que la limite T->0 existe.

Dans le même genre, je te propose : 1 si x est dans Q, -1 si c'est dans R-Q.

En remplacant Q par une partie dense dans R et telle que son complémentaire l'est aussi, on doit aussi avoir la propriété pour la fonction.
A toi d'adapter Phys2, je chercherais un peu si j'ai le temps

[Thorin]

sinon, phys2, tu peux aussi t'amuser à trouver une fonction continue en tout point irrationnel, et discontinue en tout point rationnel.

[bubulle_01]

Une fonction qui renvoie le numérateur de l'écriture irréductible pour un rationnel et qui renvoie le signe opposé (fois une constante positive) pour un irrationnel vérifie ta propriété Thorin non ?

[bubulle_01]

J'allais éditer mais ça a bugué ... :
"Je dis n'importe quoi une fois de plus ...
Je réflechis à ta question Thorin ^^"

[bubulle_01]

Par contre si on prend la constante égale à 0, et l'inverse du numérateur plutôt que le numérateur, ça devrait marcher (à part en 0 où ca plante).

[Coincoin]

En remplacant Q par une partie dense dans R et telle que son complémentaire l'est aussi, on doit aussi avoir la propriété pour la fonction.
A toi d'adapter Phys2, je chercherais un peu si j'ai le temps

Tout à fait. Mais je ne connais pas de partie dense autre que Q. Ô grands mathématiciens, apportez vos connaissances au pauvre physicien que je suis !
Phys2 est sur la bonne voie en essayant de bricoler une partie dense, mais j'ai l'impression que ça ne va pas déboucher aussi facilement.

[Médiat]

Mais je ne connais pas de partie dense autre que Q.

Tout sur-ensemble de Q, les algébriques, par exemple.
Dans l'autre sens les nombres de la forme (nombres dyadiques), et l'idée est généralisable.

[Coincoin]

Merci ! Ça reste dans l'esprit des rationnels. Donc Phys2 n'arrivera pas à bricoler son ensemble dense à partir de simples limites.

[Thorin]

Par contre si on prend la constante égale à 0, et l'inverse du numérateur plutôt que le numérateur, ça devrait marcher (à part en 0 où ca plante).

yeap

[invite7cf0b55f]

@ COINCOIN
Tu peux prendre une extension algébrique de Q. Cela doit fonctionner.

[Seirios]

Donc Phys2 n'arrivera pas à bricoler son ensemble dense à partir de simples limites.

C'est bon à savoir Merci pour vos réponses.