Fonction continue admettant limites finies en +et-infini => uniformément continue??

invite2b14cd41 · 24/01/2011, 18h09

Salut,
Je n'arrive pas à montrer que si j'ai une fonction continue f:R->R admettant des limites réelles en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors cette fonction est uniformément continue.
Cela me paraît plutot intuitif, mais je n'y arrive pas.
Toute aide serait la bienvenue.

**Seirios** · 24/01/2011, 18h50

Bonsoir,

Tu peux montrer qu'elle est uniformément continue sur trois intervalles : soit $\text{[math]}$ ; il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout x>A, $\text{[math]}$ et pour tout x<-A, $\text{[math]}$ (je note a et b les limites en plus et moins l'infini). Alors pour tout $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), donc f est continue uniformément sur $\text{[math]}$ et sur $\text{[math]}$ . Sur $\text{[math]}$ , il suffit d'appliquer le théorème de Heine.

**Seirios** · 24/01/2011, 19h04

Il faut quand même une ou deux lignes de justification pour montrer qu'il suffit de prouver la continuité uniforme sur un nombre d'intervalles, mais ça se passe plutôt bien, il suffit de "recoller" à la jonction des intervalles.

invite2b14cd41 · 24/01/2011, 19h08

Envoyé par Phys2

Bonsoir,

Tu peux montrer qu'elle est uniformément continue sur trois intervalles : soit $\text{[math]}$ ; il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout x>A, $\text{[math]}$ et pour tout x<-A, $\text{[math]}$ (je note a et b les limites en plus et moins l'infini). Alors pour tout $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), donc f est continue uniformément sur $\text{[math]}$ et sur $\text{[math]}$ . Sur $\text{[math]}$ , il suffit d'appliquer le théorème de Heine.

C'est exactement ce que j'ai fait...
Mais toute la difficulte reside evidemment dans la "jonction" des intervalles.
Surtout le cas ou x est dans ]-inf;-A] et y dans [A;+inf[
C'est précisemment la que je bloque.

EDIT: en fait il n'y a que ce dernier cas qui me pose problème. Je ne sais pas comment l'éliminer.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 24/01/2011, 19h18

Tu as donc dû montrer que pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ implique $\text{[math]}$ , avec (x,y) dans n'importe quelle configuration, sauf dans $\text{[math]}$ .

Il doit suffire de poser $\text{[math]}$ pour éliminer cette configuration, tout en conservant la propriété dans les autres cas.

invite2b14cd41 · 24/01/2011, 19h30

Envoyé par Phys2

Il doit suffire de poser $\text{[math]}$ pour éliminer cette configuration, tout en conservant la propriété dans les autres cas.

Ca me semble trop simple

Desolé de vous avoir fait perdre du temps.
Merci.

**God's Breath** · 24/01/2011, 19h46

Envoyé par Phys2

Tu peux montrer qu'elle est uniformément continue sur trois intervalles : soit $\text{[math]}$ ; il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout x>A, $\text{[math]}$ et pour tout x<-A, $\text{[math]}$ (je note a et b les limites en plus et moins l'infini). Alors pour tout $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ), donc f est continue uniformément sur $\text{[math]}$ et sur $\text{[math]}$ . Sur $\text{[math]}$ , il suffit d'appliquer le théorème de Heine.

Il serait plus sûr d'utiliser le théorème de Heine pour obtenir un module d'uniforme continuité $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ est un module d'uniforme continuité sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

invite2b14cd41 · 24/01/2011, 20h06

Envoyé par God's Breath

Il serait plus sûr d'utiliser le théorème de Heine pour obtenir un module d'uniforme continuité $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ est un module d'uniforme continuité sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

Ah bon...
J'ai tout compris de travers alors

**Seirios** · 24/01/2011, 23h07

Envoyé par God's Breath

Il serait plus sûr d'utiliser le théorème de Heine pour obtenir un module d'uniforme continuité $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ est un module d'uniforme continuité sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

Je préfère également cette manière de raisonner, merci

Envoyé par Pol92joueur

Desolé de vous avoir fait perdre du temps.

Il ne faut pas non plus exagérer

Fonction continue admettant limites finies en +et-infini => uniformément continue??

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