Fonction uniformément continue

[invitedf04a0e5]

Bonsoir j'aurais besoin de votre aide pour un exercice

soit f uniformément continue et il existe alpha >0 tel que pour tout x,y dans R |x-y|<=alpha => |f(x)-f(y)|<=1

1) Montrer que pour tout n dans N, |f(n*alpha)-f(0)|<=n.
2) En déduire que pour tout x>=0, |f(x)-f(0)|<= E(x/alpha)+1

pour la première question j'ai essayé de voir ce que ca donne en remplacant y par 0 dans la définition : |x|<=alpha => |f(x)-f(0)|<= 1 mais je reste bloqué là

quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait

merci d'avance
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Sauf erreur de ma part, la mention d'un tel alpha est superflue, puisqu'imbriquée dans la déf de f uniformément continue.
Disons que c'est le "et il existe" qui est étrange.
Bref, je vais me pencher sur la question.

[invite57a1e779]

Bonsoir j'aurais besoin de votre aide pour un exercice

soit f uniformément continue et il existe alpha >0 tel que pour tout x,y dans R |x-y|<=alpha => |f(x)-f(y)|<=1

1) Montrer que pour tout n dans N, |f(n*alpha)-f(0)|<=n.
2) En déduire que pour tout x>=0, |f(x)-f(0)|<= E(x/alpha)+1

pour la première question j'ai essayé de voir ce que ca donne en remplacant y par 0 dans la définition : |x|<=alpha => |f(x)-f(0)|<= 1 mais je reste bloqué là

quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait

merci d'avance

Il suffit d'aller de 0 à par pas de .

[invitedf04a0e5]

en fait on me donne juste f uniformément continue et je devais montrer dans une question qu'il existe alpha>0 tel que pour tout x,y dans R, |x-y|<=alpha => |f(x)-f(y)|<= 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Voilà, il me semble que j'ai trouvé le pot aux roses .

Regarde: |(n+1)alpha-n.alpha|

Ca a l'air pas mal en vue d'une récurrence, il me semble.

[invite57a1e779]

Voilà, il me semble que j'ai trouvé le pot aux roses .

Regarde: |(n+1)alpha-n.alpha|

Ca a l'air pas mal en vue d'une récurrence, il me semble.

Une récurrence pour couper l'intervalle en intervalles , c'est bien, mais peut-être un peu fort comme argument.

[invitedf04a0e5]

Voilà, il me semble que j'ai trouvé le pot aux roses .

Regarde: |(n+1)alpha-n.alpha|

Ca a l'air pas mal en vue d'une récurrence, il me semble.

j'avais pensé à la récurrence mais je n'étais pas arrivé au bout
on suppose donc que |f(n*alpha)-f(0)|<=n et on montre que |f((n+1)alpha)-f(0)|<n+1


si je remplace x par (n+1)alpha et y par n.alpha
j'obtiens: |(n+1)alpha-n.alpha|<=alpha => |f((n+1)alpha-f(n.alpha)|<=1
ce qui permet de continuer

c'est bien cela ?

[invitec053041c]

Une récurrence pour couper l'intervalle en intervalles , c'est bien, mais peut-être un peu fort comme argument.

Je ne coupe pas [0,na] en sous intervalles.

C'est bien ça sandalk, pense à introduire f(0) là dedans (par un mini subterfuge).

Et n'oublie pas l'identité |x-y|>=| |x|-|y| |


EDIT: ma réponse à God's Breath est inadaptée, je n'avais pas compris ton objection . Oui tu as raison, c'est plus direct en effet.

[invite57a1e779]

Je ne coupe pas [0,na] en sous intervalles.

Je l'avais bien compris.

ma réponse à God's Breath est inadaptée, je n'avais pas compris ton objection . Oui tu as raison, c'est plus direct en effet.

C'était l'objet de mon premier message, que tu n'as peut-être pas lu :
Il suffit d'aller de 0 à par pas de .

[invitec053041c]

Bon, et d'ailleurs si tu optes pour la récurrence, il est plus pratique de partir de:

|f(n+1)a-f(0)| et d'y introduire f(na).

Bref, fais comme ça ou directement en coupant en n intervalles, c'est équivalent.


EDIT: j'ai bien compris God's breath, inutile de persévérer dans le registre "condescendant".

[invitedf04a0e5]

comment introduire f(na) dans f((n+1)a)-f(0) ? je ne vois pas trop

[invitec053041c]

comment introduire f(na) dans f((n+1)a)-f(0) ? je ne vois pas trop

|f(n+1)a-f(0)|=|f(n+1)a-f(na)+f(na)-f(0)| puis majoration habituelle |a+b|=<|a|+|b|

[invitedf04a0e5]

|f(n+1)a-f(0)|=|f(n+1)a-f(na)+f(na)-f(0)| puis majoration habituelle |a+b|=<|a|+|b|

ah ok. merci beaucoup !