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Fonction uniformément continue



  1. #1
    sandalk

    Fonction uniformément continue


    ------

    Bonsoir j'aurais besoin de votre aide pour un exercice

    soit f uniformément continue et il existe alpha >0 tel que pour tout x,y dans R |x-y|<=alpha => |f(x)-f(y)|<=1

    1) Montrer que pour tout n dans N, |f(n*alpha)-f(0)|<=n.
    2) En déduire que pour tout x>=0, |f(x)-f(0)|<= E(x/alpha)+1

    pour la première question j'ai essayé de voir ce que ca donne en remplacant y par 0 dans la définition : |x|<=alpha => |f(x)-f(0)|<= 1 mais je reste bloqué là

    quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait

    merci d'avance

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : Fonction uniformément continue

    Bonsoir.

    Sauf erreur de ma part, la mention d'un tel alpha est superflue, puisqu'imbriquée dans la déf de f uniformément continue.
    Disons que c'est le "et il existe" qui est étrange.
    Bref, je vais me pencher sur la question.
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    God's Breath

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    Bonsoir j'aurais besoin de votre aide pour un exercice

    soit f uniformément continue et il existe alpha >0 tel que pour tout x,y dans R |x-y|<=alpha => |f(x)-f(y)|<=1

    1) Montrer que pour tout n dans N, |f(n*alpha)-f(0)|<=n.
    2) En déduire que pour tout x>=0, |f(x)-f(0)|<= E(x/alpha)+1

    pour la première question j'ai essayé de voir ce que ca donne en remplacant y par 0 dans la définition : |x|<=alpha => |f(x)-f(0)|<= 1 mais je reste bloqué là

    quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait

    merci d'avance
    Il suffit d'aller de 0 à par pas de .

  6. #4
    sandalk

    Re : Fonction uniformément continue

    en fait on me donne juste f uniformément continue et je devais montrer dans une question qu'il existe alpha>0 tel que pour tout x,y dans R, |x-y|<=alpha => |f(x)-f(y)|<= 1

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Ledescat

    Re : Fonction uniformément continue

    Voilà, il me semble que j'ai trouvé le pot aux roses .

    Regarde: |(n+1)alpha-n.alpha|

    Ca a l'air pas mal en vue d'une récurrence, il me semble.
    Cogito ergo sum.

  9. #6
    God's Breath

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Voilà, il me semble que j'ai trouvé le pot aux roses .

    Regarde: |(n+1)alpha-n.alpha|

    Ca a l'air pas mal en vue d'une récurrence, il me semble.
    Une récurrence pour couper l'intervalle en intervalles , c'est bien, mais peut-être un peu fort comme argument.

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  11. #7
    sandalk

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Voilà, il me semble que j'ai trouvé le pot aux roses .

    Regarde: |(n+1)alpha-n.alpha|

    Ca a l'air pas mal en vue d'une récurrence, il me semble.
    j'avais pensé à la récurrence mais je n'étais pas arrivé au bout
    on suppose donc que |f(n*alpha)-f(0)|<=n et on montre que |f((n+1)alpha)-f(0)|<n+1


    si je remplace x par (n+1)alpha et y par n.alpha
    j'obtiens: |(n+1)alpha-n.alpha|<=alpha => |f((n+1)alpha-f(n.alpha)|<=1
    ce qui permet de continuer

    c'est bien cela ?

  12. #8
    Ledescat

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Une récurrence pour couper l'intervalle en intervalles , c'est bien, mais peut-être un peu fort comme argument.
    Je ne coupe pas [0,na] en sous intervalles.

    C'est bien ça sandalk, pense à introduire f(0) là dedans (par un mini subterfuge).

    Et n'oublie pas l'identité |x-y|>=| |x|-|y| |


    EDIT: ma réponse à God's Breath est inadaptée, je n'avais pas compris ton objection . Oui tu as raison, c'est plus direct en effet.
    Cogito ergo sum.

  13. #9
    God's Breath

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Je ne coupe pas [0,na] en sous intervalles.
    Je l'avais bien compris.

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    ma réponse à God's Breath est inadaptée, je n'avais pas compris ton objection . Oui tu as raison, c'est plus direct en effet.
    C'était l'objet de mon premier message, que tu n'as peut-être pas lu :
    Il suffit d'aller de 0 à par pas de .

  14. #10
    Ledescat

    Re : Fonction uniformément continue

    Bon, et d'ailleurs si tu optes pour la récurrence, il est plus pratique de partir de:

    |f(n+1)a-f(0)| et d'y introduire f(na).

    Bref, fais comme ça ou directement en coupant en n intervalles, c'est équivalent.


    EDIT: j'ai bien compris God's breath, inutile de persévérer dans le registre "condescendant".
    Cogito ergo sum.

  15. #11
    sandalk

    Re : Fonction uniformément continue

    comment introduire f(na) dans f((n+1)a)-f(0) ? je ne vois pas trop

  16. #12
    Ledescat

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    comment introduire f(na) dans f((n+1)a)-f(0) ? je ne vois pas trop
    |f(n+1)a-f(0)|=|f(n+1)a-f(na)+f(na)-f(0)| puis majoration habituelle |a+b|=<|a|+|b|
    Cogito ergo sum.

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  18. #13
    sandalk

    Re : Fonction uniformément continue

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    |f(n+1)a-f(0)|=|f(n+1)a-f(na)+f(na)-f(0)| puis majoration habituelle |a+b|=<|a|+|b|
    ah ok. merci beaucoup !

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