Séries entières

[invite4bdfadf0]

Bonjour à tous,

Voilà je suis en train de réviser mon analyse pour mes prochains examens et la partie séries entières, j'ai beaucoup de mal.
Par exemple, comment puis-je faire quand on me demande de trouver le rayon de convergence d'une série entière ?
J'applique le théorème de d'Alembert mais pour les conclusions j'ai du mal car par exemple pour la série entière suivante:
(-1)^(n+1)nx^(2n+1)

j'applique d'Alembert, et je trouve : abs (-(1+1/n))abs x et je n'arrive pas à conclure. C'est tout bête mais à chaque fois, je bloque sur la conclusion.

Et dernière question,quelle est la méthode générale pour calculer la somme d'une série entière ?

J'espère que vous pourrez m'aider, et je vous remercie beaucoup d'avance.
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[invite1237a629]

Plop,

Le rayon de convergence d'une série entière donne l'intervalle sur lequel x varie pour que la série converge absolument. Soit R le rayon de convergence. Pour |x|<R, la série converge absolument.

Pour le critère d'Alembert, regarde an+1*x^(pouet+1)/(an*x^(pouet))
Si, en passant de n à n+1 la puissance de x n'augmente que de 1, tu prends le résultat de an+1/an, tu fais tendre n vers l'infini et le rayon de convergence sera son inverse (c'est comme si tu avais y*x, y étant la limite de an+1/an, et d'après le critère de d'Alembert, une série converge ssi ce rapport est < 1. Donc x < 1/y, ce qui correspond au rayon de convergence)

Si, en passant de n à n+1, la puissance de x augmente de plus que 1 (ce qui est le cas ici, parce qu'on passe de 2n+1 à 2n+3), tu fais pareil, sauf que tu as y*x^2 < 1.
Et x^2 < 1/y


Et par convention, si y = 0, R = + infini (converge pour tout x). Si y = + infini, R = 0 (ne convergera jamais, sauf pour x = 0 bien sûr)

Et ensuite, on peut te demander la convergence de la série si x = -R ou R, parce que le critère de d'Alembert dit que c'est indéterminé si an+1/an = 1.

[pat7111]

Et dernière question,quelle est la méthode générale pour calculer la somme d'une série entière ?

Je ne suis pas sur qu'il existe une methode generale qui marche a tous les coups. Les deux dont je me souvienne :

• Se ramener a des series entieres connues, a des primitives ou derivees de series connues
• Deriver une fois ou deux sa serie entiere et essayer de trouver une equation diff dont elle est solution. Resoudre cette equa diff

Pour celle que tu proposes, la derivation successive bordelise visiblement le terme general et la methode des equa diffs semble compromise.

En revanche, le n suggere fortement que le terme general a ete derive. Si on appelle f la somme de la serie entiere, que penses-tu de ? Ca ressemble pas a une derivee ? Et le machin dont ca derive ne te rappelles pas quelque chose de connu ? Reste a faire les choses proprement, ce qui se passe en 0, les rayons de convergence de chaque serie intermediaires...

[invitec053041c]

Bonsoir.

Il est bon d'avoir à l'esprit qu'une fraction rationnelle F en "n" (a fortiori un polynôme en n) dans le coefficient de la série entière n'influe en rien sur le rayon de convergence.
En somme:



Cela vient du fait que le rayon de la série dérivée est égal au rayon de la série initiale, puis réccurence sur la puissace de n etc..bref ça marche bien.

[A voir en vidéo sur Futura]