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continue-uniformement continue-lipschitisienne



  1. #1
    harry-potter

    continue-uniformement continue-lipschitisienne


    ------

    salut;
    je vais bien compris ces notations d'une façon très claire:

    fonction continue-fonction uniformement continue-fonction lipschitisienne

    je voudrais bien comprendre leurs définitions avec l'epsilon et surtout de point du vue grafique:
    par exemle; si on dit que la continuité est le traçage de la courbe de la fonction sans lever la main , comment peut-on comprendre une fonction uniformement continue ou lipschitisienne par ce même esprit ?

    merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Antho07

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    Pour la continuité simple sur un intervalle I.



    ici le dépend de et de x. C'est pour sa que j'ai noté


    Pour une fonction uniformement continue sur un intervalle I



    ici le dépend uniquement de


    Une fonction est K-lipshitzienne sur un intervalle I


  4. #3
    Antho07

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    on a de plus,

    f lipshitzienne implique f uniformement continue implique f continue

  5. #4
    harry-potter

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    salut antho07;
    peut-tu m'expliquer encore cette dépendance de x, x' et epsilon en précisant ce qui ce réalise exectement sur le graphe de la fonction f(x).
    et y a-t- il une méthode pour voir ces choses grafiquement?

    merci.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Antho07

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    le probleme c'est que tu point de vu graphique , on voit pas trop la différence entre la continuité et l'uniforme continuité.

    En gros, la continuité.
    On prend un x, il existe alors un petit intervalle autour de x tels que sur cette intevalle la fonction ne varie au max que de epsilon. Cependant ici, si on prend un autre x il faudra changer la taille de l'intervalle autour de x pour que la fonction ne varie que de epsilon.

    La continuite uniforme.

    On prend un x, il existe un petit intervalle autour de x tel que la fonction ne varie que de epsilon sur cette intervalle.
    Mais ici, la longueur de l'intervalle(que je note a ) marche pour n'importe quel x.
    des que l'on a |x-x'|<a alors on a |f(x)-f(x')|<epsilon.

    Dans le premier cas, le a change à priori pour tout x qu'on a choisit au départ .


    En faite , on voit pas grand chose graphiquement, il y a meme le theoreme de Heine qui dit que des que f est continue sur un intervalle [a;b] (fermé, borné) alors f est uniformement continue sur [a;b]

    EXEMPLE: la fonction g definit sur [0;+ l infini [ par g(x)=x² n'est pas uniformement continue tandis que la fonction f defini sur le meme intervalle par
    f(x)=x l'est.

  8. #6
    Antho07

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    hum je me suis mal explique pour l'uniforme continuité.

    L uniforme continuite sur I
    c'est:

    il existe un a >0 tels que des que |x-x'|<a
    alors |f(x)-f(x')|<epsilon


    La continuite, c'est moins fort
    on fixe x
    alors il existe a tels que si |x-x'|<a alors |f(x)-f(x')|<epsilon.

    mais on a pas l'existence d'un a qui marche pour tout x.

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  10. #7
    rhomuald

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    Salut,

    il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

    si une fonction est UC sur un intervalle , si il existe des réels tels que pour tout ,

    .

  11. #8
    harry-potter

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Salut,

    il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

    si une fonction est UC sur un intervalle , si il existe des réels tels que pour tout ,

    .
    salut rhomuald;

    peut-tu nous donner un petit exemple pour nous faire une petite démonstration?
    merci.

  12. #9
    Garnet

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Salut,

    il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

    si une fonction est UC sur un intervalle , si il existe des réels tels que pour tout ,

    .
    On a : UC etc...

    La réciproque est fausse.

    Pour une fonction dérivable : Lipchitz bornée.

    Donc graphiquement est Lipchitz si la pente de ses tangente sont majorés. Les exemples type de fonction NON-Lipchitz sont : , et .

  13. #10
    harry-potter

    Smile Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    salut les amis ;

    grâce à vous ,il est clair maintenant comment peut-on connaître grafiquement les fonctios continues et lipschitisiennes .


    mais pas pour les uniformement continues.
    y-a-il une méthode pour le faire ?

    Rhomuald m'a donné cette idée


    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Salut,

    il me semble qu'on a cette propriété qui permet de vérifier si une fonction est bien UC (d'un point de vue graphique):

    si une fonction est UC sur un intervalle , si il existe des réels tels que pour tout ,

    .

    mais Garnet n'est pas d'accord avec lui :



    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    On a : UC etc...

    La réciproque est fausse.

    Pour une fonction dérivable : Lipchitz bornée.

    Donc graphiquement est Lipchitz si la pente de ses tangente sont majorés. Les exemples type de fonction NON-Lipchitz sont : , et .

    De toute façon, merci pour tous les amis qui ont m'aidé.mais,le problème est ce que aucun ne m'a donné une petite démonstration pour me convaincre , disons un simple exemple .

    je souhaite que vous le faîtes .et vous faîtes le mieux encore si vous me communiquez une méthode permenant de connaître cette fonction uniformement continue s'il la méthode existe bien évidemment.
    merci d'avance.

  14. #11
    God's Breath

    Re : continue-uniformement continue-lipschitisienne

    Bonjour harry-potter,

    Ta question n'est pas très facile : une application uniformément continue n'a pas de caractérisation graphique simple.

    Déjà pour la continuité, le fameux « on peut tracer la courbe sans lever le crayon » n'est vrai que de très loin... je demande à voir comment on fait pour la courbe de Peano ou autre bricoles de ce genre ; si on trace, il faut une vitesse de la pointe traçante, donc une fonction de classe au moins... parce que dans la pratique, il y a même une accélération de la pointe...

    Pour les fonctions lipschitziennes dérivables, le critère de Garnet est le meilleur qui soit : une fonction dérivable est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée : graphiquement les tangentes ont une pente bornée.

    J'ai envie de dire que, comme l'on ne peut « tracer » que des fonctions dérivables (par morceaux...), on ne peut pas être amené à « voir » le graphe d'une fonction uniformément continue non lipschizienne.

    En ce qui concerne le critère de Rhomuald.

    Tu considères un module d'uniforme continuité, , tel que, par exemple : .

    Tu démontres, par récurrence, que, pour tout entier naturel , on a : et .

    Ensuite, pour tout réel, tu poses de telle sorte que , et tu en déduis :.

    Comme , tu as finalement : , et la relation voulue avec et .

    La réciproque est fausse ; tu considères la fonction définie par et tu as :
    donc la relation voulue avec et ;
    , donc , n'est pas borné et la fonction n'est pas uniformément continue.

    La différence essentielle entre la continuité et l'uniforme continuité s'aborde par les limites :
    continue, c'est : pour tout , si la suite tend vers , alors la suite tend vers ;
    uniformément continue, c'est : si la suite tend vers , alors la suite tend vers .

    Si l'on y réfléchit bien, on a une tendance naturelle à confondre ces deux énoncés. Le second implique le premier qui en est cas particulier lorsque , mais on ne peut évidemment pas généraliser du premier au second.

    Je prends l'exemple de la fonction de la fonction définie par :
    – pour tout , si tend vers , alors la suite tend vers , donc est continue ;
    – si tend vers , on ne peut pas en déduire que tend vers (par exemple et ) : n'est pas uniformément continue.

    C'est là le fondement de la différence entre continuité et uniforme continuité : si le point variable se rapproche du point fixe , alors se rapproche de (continuité), mais si les points variables l'un de l'autre, peut-on dire que les points et se rapprochent l'un de l'autre (uniforme continuité) ? On est tenté de dire oui, mais l'exemple de la fonction montre que les points variables et peuvent se rapprocher l'un de l'autre, alors les points et s'éloignent l'un de l'autre.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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