la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

**andretou** · 16/01/2018, 13h47

Bonjour à tous
J'ai entendu dire que la somme infinie de fonctions continues n'était pas toujours une fonction continue.
Est-ce exact, ou ai-je mal compris ?
Si c'est exact, comment cela se peut-il ? Est-ce que ce résultat est démontrable ?
Merci pour vos réponses

**God's Breath** · 16/01/2018, 13h56

Bonjour,

Je définis, pour tout entier naturel n, une fonction f_n sur [0,1] par :

f_n(x) = xⁿ - xⁿ⁺¹ = (1-x)xⁿ.

La fonction f_n est polynomiale, donc continue.

La suite de terme général f_n(x) est géométrique, donc la somme « infinie » de ses termes est facile à calculer.

Cette somme est-elle continue sur [0,1] ?

**pm42** · 16/01/2018, 13h57

Déjà, il faudrait préciser "qui converge".

Ensuite, on construit la suite qui correspond à la somme jusqu'à n. Et on retombe sur le théroème classique de converge simple/convergence absolue.

**sleinininono** · 16/01/2018, 14h34

la fonction dont vous parlez God Breath elle est pas continue en 1 c'est ça?

j'ai une question en rapport avec ce sujet. Je ne comprends pas dans le cadre d'ev de dimension infinie pourquoi la famille {1,x...x^n...}est une base des polynomes mais par contre la famille {u_0, u_1...u_n...} ne l'est pas pour les suites?
l'argument contradictoire est que la somme fini des termes de la famille ne permet pas de générer toutes le suites... certes mais ce même argument s'applique aussi aux polynomes... si vous pouvez m'éclairer

merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**minushabens** · 16/01/2018, 14h40

Un polynôme est uns suite finie de coefficients. Enfin on dit plutôt presque tous nuls.

**pm42** · 16/01/2018, 14h41

Envoyé par sleinininono

certes mais ce même argument s'applique aussi aux polynomes...

Pourquoi ? Un polynôme a un degré ce qui permet de le générer avec n'importe avec une somme finie des termes de la base. Ce n'est pas le cas des suites.

**sleinininono** · 16/01/2018, 14h42

justement le livre que je lis distingue si j'ai bien compris polynôme formel et polynôme. Apparemment l'un est presque tous nuls...

ce serait quoi une base d'une famille de suite? il faudrait obligatoirement passer par les valeurs propres?

mais si on voulait définir un polynome de degre n, on prend une base de taille n. Si on voulait ecrire une base de u_n on prend une taille n... de même pour l'un que pour l'autre, les termes > au rang n ne peuvent pas s'écrire de cette façon

**andretou** · 16/01/2018, 14h49

Envoyé par God's Breath

Bonjour,

Je définis, pour tout entier naturel n, une fonction f_n sur [0,1] par :

f_n(x) = xⁿ - xⁿ⁺¹ = (1-x)xⁿ.

La fonction f_n est polynomiale, donc continue.

La suite de terme général f_n(x) est géométrique, donc la somme « infinie » de ses termes est facile à calculer.

Cette somme est-elle continue sur [0,1] ?

Soit F_n(x) la somme (de 0 à n) des f_n(x)

$\text{[math]}$

Donc quand n tend vers l'infini, alors
$\text{[math]}$

Si je n'ai pas fait d'erreur, F_n(x) est une fonction constante et valant 1 (quand n tend vers l'infini), donc continue.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi tu suggères que F_n(x) n'est pas une fonction continue. Peux-tu STP expliquer ?

**God's Breath** · 16/01/2018, 14h59

Envoyé par andretou

$\text{[math]}$

Ne pas aller trop vite :

$\text{[math]}$

Et la somme est discontinue en 1…

**God's Breath** · 16/01/2018, 15h01

Bonjour,

Envoyé par sleinininono

justement le livre que je lis distingue si j'ai bien compris polynôme formel et polynôme.

J'aimerai bien voir la définition d'un polynôme non formel…

**minushabens** · 16/01/2018, 15h25

Je pense que sleininono veut parler de l'algèbre des séries formelles sur un anneau.

**Schrodies-cat** · 16/01/2018, 15h27

Voir du côté des séries de Fourier.

**God's Breath** · 16/01/2018, 15h36

Envoyé par minushabens

l'algèbre des séries formelles sur un anneau.

Si les séries formelles sont des polynômes informels, alors … rien ne va plus.

**andretou** · 16/01/2018, 15h38

Envoyé par God's Breath

Ne pas aller trop vite :

$\text{[math]}$

Et la somme est discontinue en 1…

En effet, F_n(1) = 0. Mais comment alors démontres-tu que, quand n tend vers l'infini et epsilon tend vers 0 :

$\text{[math]}$

**gg0** · 16/01/2018, 15h43

Andretou,

tu as supposé que la limite des x^n était 0, ce qui est faux. Ce n'est 0 que pour -1<x<1.

Cordialement.

**stefjm** · 16/01/2018, 16h02

Envoyé par Schrodies-cat

Voir du côté des séries de Fourier.

Série de Fourier de fonction discontinue.
On fait des sommes infinies de sinus et cosinus continue et on se retrouve avec une discontinuité.
Très visuel en plus!
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...ier_Series.svg

**God's Breath** · 16/01/2018, 16h09

Envoyé par andretou

Mais comment alors démontres-tu que, quand n tend vers l'infini et epsilon tend vers 0 :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ n'a pas de limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini et $\text{[math]}$ tend vers 0.

**andretou** · 16/01/2018, 17h27

Envoyé par gg0

Andretou,

tu as supposé que la limite des x^n était 0, ce qui est faux. Ce n'est 0 que pour -1<x<1.

Cordialement.

Pourquoi le raisonnement suivant n'est-il pas valable ?

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**God's Breath** · 16/01/2018, 17h44

Parce que l'égalité : $\text{[math]}$ n'est pas justifiée !!

Tout ce qu'on sait, c'est que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'a pas d'autre valeur que celle-là !

**andretou** · 16/01/2018, 17h44

Envoyé par God's Breath

$\text{[math]}$ n'a pas de limite quand $\text{[math]}$ tend vers l'infini et $\text{[math]}$ tend vers 0.

$\text{[math]}$

**God's Breath** · 16/01/2018, 17h48

La fonction $\text{[math]}$ est définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .

Donc la limite est la fonction $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .

La fonction $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ ; la fonction $\text{[math]}$ ne l'est pas.

**andretou** · 16/01/2018, 18h10

Ok, merci God Breath ! Et merci à tous.
Une dernière question :

Puisque la limite de la fonction $\text{[math]}$ est la fonction $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , alors pourquoi ne peut-on pas dire que la limite de $\text{[math]}$

**God's Breath** · 16/01/2018, 18h29

De deux choses l'une :

– ou bien $\text{[math]}$ vers l'infini et $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ tend vers 0 et alors $\text{[math]}$ , qui est une constante, tend vers 1;

– ou bien $\text{[math]}$ tend vers 0 et $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ vers l'infini et alors $\text{[math]}$ , qui est une constante, tend vers 0.

On est devant un phénomène mathématique appelé « défaut de commutativité » : changer l'ordre des calculs change le résultat…

Il en résulte que $\text{[math]}$ n'a pas de limite lorsque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tendent respectivement vers l'infini et vers 0 simultanément. Par exemple :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**andretou** · 17/01/2018, 15h13

En définitive, quelle doit être la caractéristique des fonctions continues pour que leur somme infinie produise une fonction non-continue ?
Autrement dit, pour que la somme infinie de fonctions continues soit une fonction non-continue, il faut et il suffit que... ???

Quels autres exemples de ces fonctions connaît-on ? Peut-on affirmer qu'il existe une infinité d'exemples ?

**God's Breath** · 17/01/2018, 15h31

Envoyé par andretou

Autrement dit, pour que la somme infinie de fonctions continues soit une fonction non-continue, il faut et il suffit que... ???

Je n'ai jamais vu de résultat à ce propos dans la littérature.

Envoyé par andretou

Quels autres exemples de ces fonctions connaît-on ? Peut-on affirmer qu'il existe une infinité d'exemples ?

Oui : toute fonction périodique discontinue, et par exemple de classe C¹ par morceaux, fournit un exemple par sa série de Fourier.

Et il existe des tas d'autres exemples en dehors des séries de Fourier.

**minushabens** · 17/01/2018, 15h49

Envoyé par andretou

Autrement dit, pour que la somme infinie de fonctions continues soit une fonction non-continue, il faut et il suffit que... ???

ça ne répond pas entièrement à ta question mais si la convergence est uniforme la limite est continue.

**andretou** · 17/01/2018, 16h21

Envoyé par God's Breath

Je n'ai jamais vu de résultat à ce propos dans la littérature.

Est-ce à dire que les mathématiciens ne s'y intéressent donc pas plus que ça ? Ils ne cherchent pas à formaliser cette propriété étrange de certaines fonctions continues ?
Pour ma part je trouve ça complètement dingue que des fonctions continues puissent engendrer une fonction non-continue, autrement dit que le continu puisse engendrer le non-continu. Je trouve ça aussi stupéfiant que si le temps pouvait de lui-même engendrer la singularité, ou que si l'espace pouvait de lui-même engendrer le point, ou que si l'inerte pouvait de lui-même engendrer le vivant !...

**pm42** · 17/01/2018, 16h27

Cela fait 2 fois qu'on parle de convergence uniforme... Les mathématiques s'intéressent beaucoup au sujet.

**gg0** · 17/01/2018, 16h41

Andretou:

Est-ce à dire que les mathématiciens ne s'y intéressent donc pas plus que ça ? Ils ne cherchent pas à formaliser cette propriété étrange de certaines fonctions continues ?

Bien sûr qu'ils ne s'intéressent pas à "cette propriété étrange de certaines fonctions continues", puisque ce n'est pas une propriété des fonctions continues, mais de la série (ou de la limite).
Ce n'est que par ignorance que tu es surpris (" complètement dingue" !! Tu forces un peu le trait), parce que tu n'as jamais vraiment étudié l'idéee de limite (une somme infinie est une limite de sommes finies).
En fait, cette discontinuité apparaît déjà avec les limites de suites de fonctions continues, parfois très brutalement. Par exemple
$\text{[math]}$ donne
* 0 si -1<x<1
* 1 si x =1 discontinuité
* $\text{[math]}$ si x>1 encore une discontinuite
* et rien du tout si x<=-1 pire qu'une discontinuité en -1

Et c'est immédiatement compréhensible sur des exemples pour qui accepte de calculer un peu.
C'est la réalité !

**stefjm** · 17/01/2018, 17h11

@ Andretou
On peut même trouver une correspondance physique à l'exemple donnée par gg0
$\text{[math]}$ donne
* 0 si -1<x<1 : Système asymptotiquement stable convergent vers 0.
* 1 si x =1 discontinuité : Système astatique
* $\text{[math]}$ si x>1 encore une discontinuite : système divergent
je détaille les deux cas suivant
* et rien du tout si x<-1 pire qu'une discontinuité en -1 : système oscillant et divergent
* x=-1 : alternance de 1 et de -1, système oscillant, non convergent, non divergent.

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