la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

invite23cdddab · 23/01/2018, 16h20

Simple : le voyageur numéro n descend à la station numéro n+1

Donc tout les voyageurs qui rentrent dans le train sont descendu avant d'arriver à l'arrivée : le train est donc vide à l'arrivée

Merlin95 · 23/01/2018, 16h40

Je ne comprends pas du tout ce que vous voulez dire.

Un descend, 10 autres montent. Cela un nombre fini de fois.

A chaque station, le nombre de voyageurs augmente de 9.

Par exemple deux fois :

on part avec 1 voyageur dans le train, un descend, 10 autre monte, on en a donc 10 dans le train, puis deuxième station (noté $\text{[math]}$ ), 1 descend et 10 montent, donc on a 19 voyageurs. Et ?
Quel rapport avec le nombre de personnes dans le métro, il faut juste qu'il y en ait au moins 19 ou 20 (selon qu'on accepte qu'un voyageur descendu puisse faire partie des 10 qui montent).

Bref, je comprends pas où est l'enjeu subtil, je dois avoir manqué quelque chose.

**andretou** · 23/01/2018, 16h46

Envoyé par Tryss2

Simple : le voyageur numéro n descend à la station numéro n+1

Donc tout les voyageurs qui rentrent dans le train sont descendu avant d'arriver à l'arrivée : le train est donc vide à l'arrivée

Ok, mais si on met en équation le problème de Médiat, alors on a : 10-1+10-1+... = 0
Comment démontrer cette égalité ?

**gg0** · 23/01/2018, 16h49

Merlin95,

qui reste dans le train "à la limite" ? (avec la règle proposée par Tryss2 - d'autres donneraient des résultats différents)
Dit autrement : Si tu suppose qu'il reste au moins un voyageur à l'infini, quel est la station où il est monté ?

En fait, ce "paradoxe" montre bien qu'on ne peut pas calculer sans précaution avec l'infini, comme on en a l'habitude, puisque des raisonnements différents donnent des résultats contradictoires. C'est pour cela que les notions de limite n'utilisent en fait jamais l'infini.

Cordialement.

Merlin95 · 23/01/2018, 16h50

Envoyé par andretou

Ok, mais si on met en équation le problème de Médiat, alors on a : 10-1+10-1+... = 0
Comment démontrer cette égalité ?

Je comprends pas non plus, Médiat a parlé d'un nombre fini de stations (même si je ne comprends pas ce que ca fait s'il y en avait une infinité).

**pm42** · 23/01/2018, 16h52

Envoyé par Merlin95

Je comprends pas non plus, Médiat a parlé d'un nombre fini de stations (même si je ne comprends pas ce que ca fait s'il y en avait une infinité).

Non, il a parlé d'une infinité dénombrable.

**Médiat** · 23/01/2018, 16h54

J'ai bien parlé d'un nombre infini dénombrable de stations, mais fait remarquer que tant qu'on est dans le domaine fini, le nombre de voyageur augmente, or, au bout d'une infinité d'étape, il peut ne pas en rester un seul, comme il pourrait tout aussi bien en rester 10, ou un million, ou une infinité

**Médiat** · 23/01/2018, 16h56

Envoyé par andretou

10-1+10-1+... = 0

Pour la milliardième fois, la somme d'une infinité de termes n'est pas définie.

Merlin95 · 23/01/2018, 16h59

Envoyé par gg0

Merlin95,

qui reste dans le train "à la limite" ? (avec la règle proposée par Tryss2 - d'autres donneraient des résultats différents)

Il me semblait que le nombre de stations était fini, non ?

Mais je dirais qu'il reste "plein" de voyageurs car il en descend qu'un et que 10 autres entrent et cela à chaque "itération".

Dit autrement : Si tu suppose qu'il reste au moins un voyageur à l'infini, quel est la station où il est monté ?

On ne peut pas le dire, en effet, et cela vient du passage "à la limite", mais cela ne signifie pas qu'il ne reste plus de voyageurs. En tout cas, personnellement, je ne vois pas. Et je ne vois pas non plus en quoi la règle donnée par Tryss donne le résultat.

**Médiat** · 23/01/2018, 17h00

Envoyé par Merlin95

En tout cas, personnellement, je ne vois pas.

D'où la nécessité absolue de perdre ses automatismes du cas fini, quand on passe à l'infini, il faut raisonner autrement.

**gg0** · 23/01/2018, 17h05

Merlin95 :

Il me semblait que le nombre de stations était fini, non ?

Tu ne veux pas relire le message initial de Médiat ? Le message #54. Il est clair !

**andretou** · 23/01/2018, 17h05

Envoyé par Médiat

Pour la milliardième fois, la somme d'une infinité de termes n'est pas définie.

Mais c'est vous-mêmes qui dites qu'elle peut être égale à 0 (ou à toute autre valeur positive) !!!

Merlin95 · 23/01/2018, 17h06

Envoyé par gg0

Merlin95 :
Tu ne veux pas relire le message initial de Médiat ? Le message #54. Il est clair !

Oui, ouf je ne sais pas pourquoi j'ai pensé à un nombre fini de stations. Mais ca ne change pas que je ne vois pas comment se retrouver avec 0 voyageurs "à la limite".

@Médiat, je vous fais en quelque sorte confiance, mais c'est juste que je ne comprends pas où il y a nécessité de penser autrement dans cet exemple. Il y a de plus en plus de voyageurs dans le train, je ne comprends pas comment il pourrait en avoir 0.

invite82078308 · 23/01/2018, 17h13

On prend la limite d'une suite d'ensembles de voyageurs.
Reste à préciser selon quelle notion de convergence.

invite23cdddab · 23/01/2018, 17h24

Envoyé par Merlin95

Oui, ouf je ne sais pas pourquoi j'ai pensé à un nombre fini de stations. Mais ca ne change pas que je ne vois pas comment se retrouver avec 0 voyageurs "à la limite".

@Médiat, je vous fais en quelque sorte confiance, mais c'est juste que je ne comprends pas où il y a nécessité de penser autrement dans cet exemple. Il y a de plus en plus de voyageurs dans le train, je ne comprends pas comment il pourrait en avoir 0.

Si il reste des voyageurs "à l'infini", peux tu indiquer le numéro d'un voyageur qui est dans le train au final (avec la méthode d'entrée/sortie que je propose)?

Dit autrement : comment peut-il rester quelqu'un dans le train si tout ceux qui rentrent dedans sortent avant d'arriver ?

Merlin95 · 23/01/2018, 17h37

Envoyé par Tryss2

Si il reste des voyageurs "à l'infini", peux tu indiquer le numéro d'un voyageur qui est dans le train au final (avec la méthode d'entrée/sortie que je propose)?

Je n'ai pas compris ta méthode d'entrée sortie. Comment tu numérotes les voyageurs, à chaque station, car il y en a 10 qui entrent pas un seul ? : A la première station il en entre 10, et un qui sort, donc dans ce cas (n=1), tu numérotes 1 seul voyageur, et il en reste 8 autres.
A la deuxième station, tu en numérotes 2, et il en reste 16 non numérotés, à l'étape n, tu en a numéroté n et il en reste 9n-n = 8n non numérotés.

Il ne te reste pas 1 voyageur au final (si on peut parler de "au final"), mais une infinité qui n'ont pas été numérotés d'ailleurs.

Bref je ne comprends pas ta proposition.

A l'étape n on a simplement 9n voyageurs et ca tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, je ne saisis pas l'enjeu ici.

Dit autrement : comment peut-il rester quelqu'un dans le train si tout ceux qui rentrent dedans sortent avant d'arriver ?

Il en rentre 10, et il en sort 1, tu en numérotes qu'un sur les 9 nouveaux qui restent. Je viens de relire l'énoncé.

**Médiat** · 23/01/2018, 17h41

Envoyé par andretou

Mais c'est vous-mêmes qui dites qu'elle peut être égale à 0 (ou à toute autre valeur positive) !!!

Je n'ai jamais parlé de sommes

**Médiat** · 23/01/2018, 17h49

Merlin95,

J'avais publié ici une version purement mathématiques de ce petit "truc", je vais essayer de le retrouver.

Tryss2 explique très bien ce qui peut se passer ici (en particulier que l'énoncé est un peu incomplet)

Je vous donne un autre exemple :

Prenons les intervalles d'entiers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ , on voit bien (normalement

) que (d'une certaine façon) $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , or le cardinal de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , dont la limite est bien $\text{[math]}$ , le cardinal de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , suite de cardinaux entiers qui "devrait" tendre vers $\text{[math]}$ , ce qui est absolument faux, puisque c'est $\text{[math]}$ (théorème de Cantor)

**Médiat** · 23/01/2018, 17h53

Envoyé par Médiat

J'avais publié ici une version purement mathématiques de ce petit "truc", je vais essayer de le retrouver.

Je l'ai retrouvé : http://forums.futura-sciences.com/ma...-vacances.html ; voir en particulier le dernier message

**gg0** · 23/01/2018, 17h56

[edit complément au message #75 de Tryss 2]
Dit autrement,

suivant qu'on pense "qu'il y a de plus en plus de voyageurs" ou "que chaque voyageur va finir par sortir", on n'a pas la même conclusion. A condition d'accepter de penser différemment. Si on reste bloqué sur la première façon de penser la situation, on ne peut pas comprendre; mais on ne fait rien pour comprendre.
Et personne ne dit qu'on peut penser les deux choses à la fois.

Cordialement.

Merlin95 · 23/01/2018, 18h01

Là je comprends mieux sauf que personnellement, il ne me serait pas passé par la tête de dire que le cardinal de $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , j'aurais eu le réflexe premier de me demander ce que ca veut dire au lieu de tomber dans cette "facilité".

Pas de problème, volontiers si vous avez une explication mathématique du problème précédent.

Merlin95 · 23/01/2018, 18h05

Envoyé par gg0

[edit complément au message #75 de Tryss 2]
Dit autrement,

suivant qu'on pense "qu'il y a de plus en plus de voyageurs" ou "que chaque voyageur va finir par sortir", on n'a pas la même conclusion. A condition d'accepter de penser différemment. Si on reste bloqué sur la première façon de penser la situation, on ne peut pas comprendre; mais on ne fait rien pour comprendre.
Et personne ne dit qu'on peut penser les deux choses à la fois.

Cordialement.

Effectivement si on oublie de penser que le nombre de voyageur qui entre est plus grand que le nombre de voyageur qui sort, alors on va penser qu'ils vont tous finir par sortir, on est d'accord...

**Médiat** · 23/01/2018, 18h11

Envoyé par Merlin95

Là je comprends mieux sauf que personnellement, il ne me serait pas passé par la tête de dire que le cardinal de $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , j'aurais eu le réflexe premier de me demander ce que ca veut dire au lieu de tomber dans cette "facilité".

Excellent réflexe, mais penser qu'une suite croissante d'entiers "tend" vers autre chose que $\text{[math]}$ qui est le plus petits cardinal infini, semble "naturel", même si c'est complètement faux.

Merlin95 · 23/01/2018, 18h18

Envoyé par Médiat

Je l'ai retrouvé : http://forums.futura-sciences.com/ma...-vacances.html ; voir en particulier le dernier message

Merci infiniment (même si je suis plus impressionné par exemple, par la démonstration du Théorème de Goodstein rendue possible grâce aux travaux de Cantor sur les transfinis

).

invite23cdddab · 23/01/2018, 18h22

Envoyé par Merlin95

Je n'ai pas compris ta méthode d'entrée sortie. Comment tu numérotes les voyageurs, à chaque station, car il y en a 10 qui entrent pas un seul ? : A la première station il en entre 10, et un qui sort, donc dans ce cas (n=1), tu numérotes 1 seul voyageur, et il en reste 8 autres.
A la deuxième station, tu en numérotes 2, et il en reste 16 non numérotés, à l'étape n, tu en a numéroté n et il en reste 9n-n = 8n non numérotés.

Il ne te reste pas 1 voyageur au final (si on peut parler de "au final"), mais une infinité qui n'ont pas été numérotés d'ailleurs.

Bref je ne comprends pas ta proposition.

A l'étape n on a simplement 9n voyageurs et ca tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, je ne saisis pas l'enjeu ici.

Il en rentre 10, et il en sort 1, tu en numérotes qu'un sur les 9 nouveaux qui restent. Je viens de relire l'énoncé.

A la station 1, entrent les voyageurs 1 à 10, à la station 2, entrent les voyageurs 11 à 20, et sort le voyageur 1, à la station 3, entrent les voyageurs 21 à 30 et sort le voyageur 2, etc.

Je ne vois donc pas pourquoi on ne pourrait pas tous les numéroter?

Tout les voyageurs sont numérotés, et ils sortent bien tous

Merlin95 · 23/01/2018, 18h35

Ok je comprends hein, mais si on est ultra rigoureux, le nombre de personnes numérotées étant de 10 de plus à chaque stations, ne doit-on pas faire une étude de croissance comparée pour en conclure qu'il n'en reste au final 0.

Envoyé par Tryss2

Tout les voyageurs sont numérotés, et ils sortent bien tous

Ne doit-on pas plutôt en conclure seulement qu'une infinité en sont sortis ?

Je vais y réfléchir.

invite9dc7b526 · 23/01/2018, 19h26

ah bon sang! je ne le connaissais pas ce "paradoxe" du métro qui se remplit de plus en plus mais arrive vide. Je le trouve particulièrement affreux, l'hôtel de Hilbert est roupie de sansonnet en comparaison.

invite82078308 · 23/01/2018, 19h32

Envoyé par Tryss2

Simple : le voyageur numéro n descend à la station numéro n+1

Donc tout les voyageurs qui rentrent dans le train sont descendu avant d'arriver à l'arrivée : le train est donc vide à l'arrivée

Cela définit l'ensemble des voyageurs qui sont dans le train à la station n, mais comment définir de façon naturelle l'ensemble des voyageurs qui sont dans le train à la station ∞ .

On peut considérer V_n l'ensemble des voyageurs à la station n , et en utilisant les définitions ici:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite...eillis_complet
On constate facilement que
lim_n->∞ inf V_n = ∅ et lim_n->∞ sup V_n = ∅

**gg0** · 23/01/2018, 19h35

Et de la même façon, la suite des fonctions
$\text{[math]}$
qui vérifient
$\text{[math]}$
a pour limite la fonction nulle.

Cordialement.

**obi76** · 23/01/2018, 20h19

Bonjour,
Contre exemple simple : vous faites la serie de Fourier de la fonction heavyside, et vous voyez bien qu'en la reconstruisant (somme infinie d harmoniques continues), vous obtenez une fonction discontinue.

la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

Re : la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

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