étude de série numérique

[invitea3d201d7]

Bonjour chers futura-scientifiques,
alors ma question est la suivante
comment etudier la série numérique suivante


en fonction de

Si quelqu'un pouvait me guider un peu, ce serait cool.
merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

C'est une série à termes positifs, tu peux facilement trouver un équivalent de U_n, en utilisant une primitive f de exp(t²) et en multipliant-divisant par 1/n pour faire apparaître une dérivée.

Bon travail !

[invitea3d201d7]

merci pour votre aide, mais y'a t-il une primitive de ?
ce n'est pas une de ces intégrale non exprimable analytiquement ?

[Resartus]

Bonjour,
C'est en effet une primitive qui n'est pas exprimable en fonctions élémentaires.
Je ne pense pas qu'on demande de la calculer, mais seulement de vérifier pour quelles valeurs de alpha elle converge.

Inutile de s'embarrasser avec un DL de l'exponentielle : comme n est supérieur ou égal à 1, exp(t²) est majoré par e dans l'intervalle d'intégration
Cela converge donc comme une série 1/n^(alpha+1) ce qui est du cours...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ce n'est pas pour rien que je parlais de "une primitive f", car effectivement a des primitives mais on n'a pas besoin de savoir en calculer (on ne peut pas), seulement de donner un nom pour remplacer l'intégrale.
La méthode de Resartus est plus rapide, mais donne-t-elle une condition nécessaire et suffisante de convergence ? Je n'est suis pas sûr, contrairement à l'utilisation d'un équivalent.

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
Ben, entre 0 et 1/n, exp(t²) est majoré par e et minoré par 1.
Donc, grâce aux gendarmes, on sait que la série a strictement la même nature que 1/n^(alpha+1)

[gg0]

Ah oui, j'oubliais la minoration ... que tu n'avais pas citée

[invitea3d201d7]

merci beaucoup de votre réponse, c'est plus clair a présent

[invitea3d201d7]

j'ai trouvé une piste c'est bon