série numérique

[invite4c80defd]

Bonsoir à tous,
J'aurais besoin d'un renseignement concernant un exercice sur lequel je bloque.

Je dois en fait calculer S=somme de 1 à +infini de ((b^n)/n)

je pensais bien modifier l'expression en (b^n+1)/(n+1) en modifiant un peu les termes puis reconnaitre que cette expression est la primitive de b^n
J'aurais donc:
sigma (primitive(b^n))=primitive(sig ma(b^n)) avec sigma(b^n)=b*((1-b^n)/(1-b)) mais le probleme est que je n'arrive pas à intégrer cette expression ...

Auriez-vous une idée ou une autre méthode à proposer ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Et en remarquant que est la primitive de ... ?

Je n'ai rien compris à ton calcul : "sigma(b^n)=b*((1-b^n)/(1-b))", car avant le = il y a une série qui ne dépend pas de n : sigma(b^n)=sigma(b^k) ou plus justement sigma_n(b^n)=sigma_k(b^k); mais ensuite il y a une expression qui dépend de n. Quel n ???
Mais en écrivant correctement les choses (*), on arrive bien à se ramener à la série géométrique.

Cordialement.

(*) et en sachant qu'on peut intégrer ce genre de séries termes à termes.

[invite4c80defd]

je me suis peut etre mal exprimé désolé.
Si je suis votre raisonnement, alors (je précise que b appartient à [0;1[)
b^n/n est la primitive de b^(n-1)
sommes-nous d'accord ?

merci d'avance

[invite4c80defd]

Or, il me faut maintenant calculer sigma(b^(k-1)) pour k allant de 1 à n.
Je trouve: (1-b^n)/(1-b) et en intégrant cette expression, je dois touver en faisant une limite pour n ->+infini, la ssomme que je cherche.
Mais comment intégrer cette expression , j'ai essayer de couper en deux, avec d'un coté, 1/(1-b) qui -ln(1-b) une fois intégré et de l'autre côté -b^n/(1-b) que je n'arrive pas à intégrer (l'intégration par parties n'a rien donné , je bloque à un moment...)

Qu'en dites-vous ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Tout dépend des connaissances que tu as sur les séries entières. Si tu dois passer par les séries partielles, et donc justifier l'interversion entre limite et intégrale, tu as du travail ! mais je pensais que tu avais eu un cours sur les séries entières : cf ton passage "sigma (primitive(b^n))=primitive(sig ma(b^n)) ", que j'avais interprété comme parlant de séries, puisqu'au départ, c'est une série.

Comme c'est très simple avec les théorèmes sur les séries entières, et assez délicat sans (une limite de primitives n'a pas de raison d'être primitive de la limite, idem pour des intégrales), j'attends que tu en dises plus.

Cordialement.

[invite4c80defd]

j'ai bien eu un cours sur les séries mais je n'ai jamais vu de cas comme celui-ci.
habituellement, on calculait la somme d'une série , mais uniquement lorsque le terme général était une suite géométrique ...
Nous avons rapidement fait un exercice dans lequel on avait sigma((Un)'), c'est-a-dire une dérivée, et l'on avait écrit :
sigma((Un)')=(sigma(Un))', on calculait donc sigma(Un) car on avait uné série géométriques, puis on dérivait l'expresssion obtenue...et je pensais faire de mem ici mais au lieu de dériver, on intègre ...
Que dois-j donc faire selon vous ?

Merci d'avance

[gg0]

Ok.

J'imagine que tu as vu en cours le théorème sur la dérivation d'une série de fonctions. Tu peux alors poser

montrer que cette série est bien convergente et qu'elle vérifie les conditions du théorème (sur un intervalle bien choisi), en conclure sur l'expression de f(b) sur cet intervalle, puis sur [0;1[.

Cordialement.

NB : j'espère que dans ton exercice tu avais des justifications de la possibilité d'écrire sigma((Un)')=(sigma(Un))' (somme finie, ou théorème sur les séries).

[invite4c80defd]

pour la convergence, j'ai utilisé le critère de d'Alembert, pas de probleme de ce coté.
qu'entendez-vous par conclure sur f(b) ?

merci

[gg0]

Si tu as les conditions pour pouvoir dériver terme à terme (le théorème dont je parle), tu peux le faire pour déterminer f'(b) comme somme d'une série géométrique, puis intégrer pour trouver f(b).
Mais as-tu un théorème ?

Cordialement.

NB : rappel si , alors ne donne généralement pas la dérivée de f; même si cette nouvelle série converge.

[invite4c80defd]

malheureusement non, je n'ai rien concernant ce théoreme dans mon cours, l'exo dont j'ai cité l'exemple ayant été traité en fin de TD (le prof a donné la solution , c'est tout).

[gg0]

Alors je n'ai pas de "bonne méthode". Il va falloir attendre que le prof, au prochain TD, donne les justifications de sa méthode (si c'était bien sur des séries). Ou qu'il traite la question en cours.

[invite4c80defd]

le probleme est que cela m’embêtes beaucoup d'aller en cours les mains vides...
J'aimerai quand meme essayer quelque chose, meme si je n'ai pas tout compris vos messages...

Si je suis votre premier message, alors:
Soit sigma(Un) la série étudiée. Un=b^n/n
or, b^n/n est la primitive de b^(n-1)
Donc sigma(Un) revient à écrire sigma(intégrale(b^(n-1))) je suppose
et je ne peux pas écrire sigma(intégrale(b^(n-1))) équivalent à intégrale(sigma(b^(n-1))), meme sous certaines conditions ?

merci d'avance

[gg0]

meme sous certaines conditions ?

Si, justement ! (*)
Mais tu dis que tu n'as pas ces conditions ....


(*) Enfin, pas avec des primitives, car il n'y a pas unicité, primitive(un) n'est pas une fonction définie, une fonction a une infinité de primitives. C'est d'ailleurs pour cela que je t'ai conseillé de dériver !!!!

[invite4c80defd]

d'accord, c'est plus clair: je sais que c'est possible mais sous certaines conditions que je n'ai pas .
Vous me conseillez donc de dériver: je suis entièrement d'accord, mais alors , je dérives quoi ? (j'avoue ne pas trop voir ou vous voulez en venir)
je peux écrire:
Soit sigma(Un) la série étudiée avec Un=b^n/n
or b^n/n est la dérivée de (b^(n+1))/(n(n+1))
ensuite je dis que sigma((Un)')=(sigma(Un))' sous certaines conditions (lesquelles , dans le TD, le prof n'a justifié cette expression que par "la somme des dérivées est la dérivée de la somme"...)
mais après , que faire avec cette expression pas vraiment sympatique ?


Merci

[gg0]

Tu n'as pas lu mes messages #7 et #9 !
Et tu mélanges agréablement dériver Un et Un est la dérivée de ...

Si ton prof utilise cette propriété fausse "la somme des dérivées est la dérivée de la somme", fais comme lui, mais saches que c'est faux en général, vrai dans ce type de cas (séries entières convergentes, qui sont alors indéfiniment dérivables).

Cordialement.

[invite4c80defd]

je vais essayer de récapituler un peu pour clarifier les choses :
Soit sigma(Un) la série étudiée avec Un=b^n/n
vous voulez que je dérives Un:
on a alors U'n (pardonnez l'écriture)= b^(n-1)
or, sigma(b^(n-1)) est une série géométrique si je ne trompe pas.
On peut calculer la somme de ses termes qui vaut: (1-b^n)/(1-b)

Ca va jusque-là ? désolé si je m'embrouilles un peu ...

Merci .

[gg0]

J'avais écrit ça de façon plus claire, mais si tu tiens à t'embrouiller ....
et tu continues à confondre série géométrique et somme finie de termes d'une suite géométrique.

[invite4c80defd]

ah oui , il y a des problemes de vocabulaire..
mais la méthode reste correcte ?
(je préfère essayer de ma façon , c'est-a-dire que j'écrit les choses comme elles me viennent, c'est pour ça que tout ressemble à un brouillon...mais je ne conteste évidemment pas vos démarches, je suis plus que certain qu'elles sont plus que correctes ....)
Si c'est bon jusque-la, que faire avec sigma(b^(k-1)) pour k de 1 à n = (1-b^n)/(1-b) = suite des sommes partielles si je ne me trompe pas encore de vocabulaire !
parce que l'on a dériver, il faudra donc intégrer à un moment ou un autre ...

Merci d'avance pour votre aide

[gg0]

Ce n'est pas un problème de vocabulaire !
Je renonce, si tu veux comprendre, tu réfléchis à ce que j'ai écrit et à l'énoncé, tu formalises correctement la question pour éviter les écritures imprécises qui t'interdisent de comprendre, et tu avanceras.

Bonne nuit !

[invite4c80defd]

dernière question:
est-ce que ( sigma(b^n/n) )'=1/(1-b) est équivalent à : sigma(b^n/n)=primitive de (1/(1-b)) ?

[gg0]

définition de "primitive".

La deuxième égalité ne veut rien dire, il y a une infinité de primitives (voir cours de terminale)

[invite4c80defd]

oui mais si je suppose que je me place dans le cas ou la constante due à l'intégration est nulle , cette égalité serait utilisable ?
(on aurait alors à gauche -ln|1-b|, qui serait la réponse à l'exo ??)

Merci d'avance

[gg0]

Il n'y a pas de raison.

En dérivant -cos²x, on obtient 2 sin x cos x dont on peut trouver une primitive (cos x est la dérivée de sin x) facilement : sin²x. la constante est nulle, mais sin²x n'est pas -cos² x.

En raisonnant simplement avec les cours de terminale (il y a une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante), on arrive au résultat en l'ayant prouvé, pas en utilisant la conclusion.
Donc tu déduis de ton calcul que ta série a pour valeur -ln(1-b)+k où k est une constante que tu peux calculer en choisissant une valeur pratique de b.

Cordialement.

[invite4c80defd]

ok merci pour l'astuce je vais essayer de trouver k
J'ai une question concernant la regle de d'Alemebert:
si la limite l est >1, alors la série est divergente,elle est meme grossirement divergente.
Mais si l<1, alors elle converge mais absolument ?
ou seulement pour pour l compris entre 0 et 1 (1 exclu ) ?

merci

[invite4c80defd]

j'ai trouvé pour b=0, k=1
Pouvez-vous me le confirmer ?

Merci d'avance

[invite4c80defd]

en fait,pour b=0, je trouve k=0
êtes-vous d'accord avec ce résultat ?

[gg0]

Comme je ne sais pas de quoi tu parles, difficile de te répondre. Depuis le début, tu parles dans le flou, sans donner des noms précis aux objets utilisés, avec des notations sans signification ("primitive de.."), etc.

Si tu veux vraiment une aide, dis de quoi tu parles.

NB : Le critère de d'Alembert concerne les séries positives, donc la notion de convergence absolue est superfétatoire. A moins que tu ne le connaisse lui aussi que de façon floue.

[invite4c80defd]

bon , je vais préciser alors
Je parle du critère de d'Alembert qui permet de dire si une série DV ou CV en fonction de la limite l appartenant à R (tant qu'a faire diiférent de 1, sinon on est dans le cas dit"douteux" )du quotient de Un+1/Un avec Un le terme général de la série dont je parle , qui est une série a termes positifs.
Seulement, on peut rencontrer des énoncée plus précis que d'autres
Pour certains, on dit que si l>1, on a divergence , et pour l<1, convergence
pour d'autres n=, on est plus précis: l>1, on a divergence grossière , et pour l<1, convergence
ou encore; l>1, on a divergence grossière, et pour l<1, absolue convergence

et ça deux semaines que le prof nous dit "toujours préciser ......absolument.............. grossièrement...), et comme la plupart des énoncés d'internet ne précise pas ce genre de choses, je me disais que vous pourriez me renseigner (j'avais pourtant demandé poliment !!!!) car vous connaissez bien ce genre de choses (c'est l’impression que j'ai eu tout du moins)

NB: si on prend le module de Un+1/Un , on peut élargir l'étude aux séries qui ne sont pas à termes positifs non ?

merci

[gg0]

1) le critère de D'Alembert s'applique à des séries à termes strictement positifs, par extension à des séries à termes strictement négatifs.
2) Je ne sais pas ce qu'est une divergence grossière. En général, on s'intéresse peu à la façon de diverger.
3) Si on étudie la convergence absolue d'une série, on étudie la convergence absolue. On en déduit la convergence, mais c'est un cas de convergence utile, d'où la précision demandée.
4) Ne pas confondre "étudier la convergence absolue" et élargir le critère à des séries à termes de signe quelconque.

Dans tout ça, tu manifestes bien que tu te fies plus aux calculs que tu as vus qu'aux règles qui les justifient ... Et si tu te mettais à apprendre et seulement appliquer les règles ? Tu comprendrais bien plus les exigences de ton prof.

Tant que tu restes dans le flou, tu ne fais pas vraiment des maths. On fait des maths quand chaque calcul, chaque transformation, chaque conséquence sont justifiés par un théorème ou une règle (et qu'on en est conscient).

Cordialement.

NB : tes messages #25 et #26 sont toujours incompréhensibles. Par exemple "je vais chercher k" alors que k était la lettre utilisée pour indicer la série !

[invite4c80defd]

le k vient de votre message 23, j'ai repris la meme lettre qu e vous avez utilisé (j'aurais peut etre du le préciser)
deuxièmement, n'étant pas chez moi, je n'ai pas mon cours avec moi et étant donné que le prof nous a dit de nous méfier de certains cours d'internet,je me débrouilles un peu tout seul aujourd'hui....