la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

invite57a1e779 · 17/01/2018, 18h15

Ou comment régler au mieux les amortisseurs de son véhicule…

**andretou** · 17/01/2018, 18h46

Envoyé par gg0

Andretou:
Bien sûr qu'ils ne s'intéressent pas à "cette propriété étrange de certaines fonctions continues", puisque ce n'est pas une propriété des fonctions continues, mais de la série (ou de la limite).
Ce n'est que par ignorance que tu es surpris (" complètement dingue" !! Tu forces un peu le trait), parce que tu n'as jamais vraiment étudié l'idéee de limite (une somme infinie est une limite de sommes finies).
En fait, cette discontinuité apparaît déjà avec les limites de suites de fonctions continues, parfois très brutalement. Par exemple
$\text{[math]}$ donne
* 0 si -1<x<1
* 1 si x =1 discontinuité
* $\text{[math]}$ si x>1 encore une discontinuite
* et rien du tout si x<=-1 pire qu'une discontinuité en -1

Et c'est immédiatement compréhensible sur des exemples pour qui accepte de calculer un peu.
C'est la réalité !

Désolé d'être surpris. Aussi, pour me permettre d'être un petit peu moins ignorant, mais aussi pour mieux juger du caractère "complètement dingue" de la non-continuité d'une somme infinie de fonctions continues, aurais-tu l'amabilité de me dire si :
- la somme infinie de fonctions définies peut produire une fonction non-définie (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions dérivables peut produire une fonction non-dérivable (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions strictement croissantes peut produire une fonction non-strictement croissante (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions paires peut produire une fonction non-paire ?
- la somme infinie de fonctions intégrables peut produire une fonction non-intégrable ?

invite9dc7b526 · 17/01/2018, 19h42

quelles sont tes réponses? je crois qu'en réfléchissant un peu à la question tu devrais trouver (les réponses sinon leur preuves). Je te conseille aussi de raisonner en termes de limite d'une suite de fonctions plutôt qu'en termes de sommation, c'est plus simple à visualiser et c'est le même problème.

invite57a1e779 · 17/01/2018, 19h44

Envoyé par andretou

Désolé d'être surpris. Aussi, pour me permettre d'être un petit peu moins ignorant, mais aussi pour mieux juger du caractère "complètement dingue" de la non-continuité d'une somme infinie de fonctions continues, aurais-tu l'amabilité de me dire si :
- la somme infinie de fonctions définies peut produire une fonction non-définie (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions dérivables peut produire une fonction non-dérivable (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions strictement croissantes peut produire une fonction non-strictement croissante (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions paires peut produire une fonction non-paire ?
- la somme infinie de fonctions intégrables peut produire une fonction non-intégrable ?

Oui
Oui
Non
Non
Oui

invite9dc7b526 · 17/01/2018, 19h46

ah tiens j'aurais dit oui pour la 3.

invite57a1e779 · 17/01/2018, 19h57

$\text{[math]}$

et je vois mal comment la somme pourrait ne pas avoir le signe commun à tous les $\text{[math]}$ .

invite9dc7b526 · 17/01/2018, 20h11

si je considère pour n>0 la fonction gn: x -> x/n sur [0,1]. Elle est strictement croissante. La limite de cette suite est g : x -> 0 . Elle n'est pas strictement croissante.

**pm42** · 17/01/2018, 20h13

On ne parle pas de suite mais de sommes.

invite9dc7b526 · 17/01/2018, 20h17

oui mais les différences g_n-g_{n-1} sont strictement décroissantes.

**pm42** · 17/01/2018, 20h30

Envoyé par minushabens

oui mais les différences g_n-g_{n-1} sont strictement décroissantes.

Le 1er élément de ta série est x. Elle n'est pas décroissante.

invite9dc7b526 · 17/01/2018, 20h40

tu as raison et God's breath aussi. Mon conseil de regarder les suites plutôt que les séries n'était pas très bon puisque je m'y suis laissé prendre.

**andretou** · 17/01/2018, 23h32

Envoyé par God's Breath

Oui
Oui
Non
Non
Oui

Merci encore God's Breath ! J'ai plein de nouvelles questions mais je vais d'abord méditer sur tes réponses.
gg0, au temps pour moi, je rectifie mon jugement : ce n'est pas "complètement dingue", c'est carrément hallucinant et prodigieux !!!

**andretou** · 22/01/2018, 11h41

Envoyé par andretou

- la somme infinie de fonctions définies peut produire une fonction non-définie (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions dérivables peut produire une fonction non-dérivable (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions strictement croissantes peut produire une fonction non-strictement croissante (en un point) ?
- la somme infinie de fonctions paires peut produire une fonction non-paire ?
- la somme infinie de fonctions intégrables peut produire une fonction non-intégrable ?

Envoyé par God's Breath

Oui
Oui
Non
Non
Oui

Bonjour God's Breath
Aurais-tu STP la possibilité de donner un exemple d'une somme infinie de fonctions définies qui produisent une fonction non-définie (en un point au moins) ?

invite452d5a24 · 22/01/2018, 11h57

Salut,

Je vais te montrer que tu aurais put répondre toi même à ta question.

Tu dois sûrement connaître une suite f_n qui fait ce que tu veux (ici continues et qui ne converge pas vers une fonction continue).

Et bien tu prends la série de terme générale (téléscopique) f_{n+1}-f_n et tu as ce que tu demander.

Donc il t'a manqué qu'un ingrédient les sommes télèscopique.

Cordialement.

**pm42** · 22/01/2018, 12h03

Des fonctions constantes non nulles. Ou 1/nx. Ou x, ou x^n...
Ou toute série entière dès qu'on sort de son rayon de convergence.

**andretou** · 22/01/2018, 12h17

Envoyé par pm42

Des fonctions constantes non nulles. Ou 1/nx. Ou x, ou x^n...
Ou toute série entière dès qu'on sort de son rayon de convergence.

Ok, merci !

**andretou** · 22/01/2018, 17h20

Et est-il éventuellement possible qu'une somme infinie de fonctions définies produise une fonction non définie en un point seulement de son domaine de définition ?

**gg0** · 22/01/2018, 17h53

Oui,

les x^n, avec comme domaine de définition [0;1].
Mais tu vas poser encore combien de questions de ce genre ? Qui ne t'apprennent que des détails sans importance ? Alors que tu ppourrais facilement apprendre les mathématiques de L1 et L2 qui te permettraient de voir ça utilement.

**andretou** · 22/01/2018, 18h55

Envoyé par gg0

Oui,

les x^n, avec comme domaine de définition [0;1].

Merci !

**andretou** · 22/01/2018, 19h20

Envoyé par gg0

Mais tu vas poser encore combien de questions de ce genre ? Qui ne t'apprennent que des détails sans importance ?

J'essaie simplement d'appréhender cette idée que je trouve incroyable, à savoir que du continu ajouté à du continu peut produire du non-continu, ou que du défini ajouté à du défini peut produire du non-défini !
C'est comme si de la stabilité ajoutée à de la stabilité pouvait produire de l'instabilité, ou que de l'ordre ajouté à de l'ordre pouvait produire du désordre, ou que du connu ajouté à du connu pouvait produire etc, etc...

Ceci dit, si je pose trop de questions, peut-être n'en poses-tu pas assez ? Tous les mathématiciens, même les plus grands, se posent des questions. Il serait intéressant de connaître celles qui te préoccupent, même si, en ce qui me concerne, je serai incapable de t'apporter une réponse.

**gg0** · 22/01/2018, 19h39

Je me pose des questions, mais pa

**gg0** · 22/01/2018, 19h49

Message précédent parti par erreur.

Je me pose des questions, mais pas celles-ci, car elles reviennent toutes à la même chose : le passage à la limite change qualitativement la situation. C'est tellement classique en maths que tes questions semblent décalées. Tu prends des nombres strictement positifs, les 1/n, puis tu passes à la limite sur n, et tu as 0, qui n'est plus strictement positif. C'est tellement élémentaire, connu depuis des millénaires, que ça désamorce tous tes étonnements forcés.
Et encore, en maths, il faut passer par l'infini; en physique, la règle change pour une simple question d'ordre de grandeur (voir par exemple le livre de Robert Laughlin, "Un univers différent"), ce qui était hasard devient ordre !!

Quant aux questions que je me pose, je me les garde.

invite82078308 · 23/01/2018, 13h20

Envoyé par andretou

J'essaie simplement d'appréhender cette idée que je trouve incroyable, à savoir que du continu ajouté à du continu peut produire du non-continu, ou que du défini ajouté à du défini peut produire du non-défini !
C'est comme si de la stabilité ajoutée à de la stabilité pouvait produire de l'instabilité, ou que de l'ordre ajouté à de l'ordre pouvait produire du désordre, ou que du connu ajouté à du connu pouvait produire etc, etc...
(...)

Quand on applique un théorème, il faut vérifier que les hypothèses sont satisfaites.
Une somme finie de fonction continue est continue, cela ne dit rien sur les sommes infinies.
Il convient d'ailleurs de préciser ce qu'on entend par somme infinie de fonctions.
On cherche souvent à généraliser les théorèmes en obtenant la même conclusion sous des hypothèse plus faibles, mais cela ne marche pas toujours.

**Médiat** · 23/01/2018, 14h07

Vous touchez du doigt ce que Bolzano appelait "les paradoxes de l'infini".

Il suffit de se mettre dans la tête qu'un raisonnement qui fonctionne dans le cas fini, n'a, a priori, aucune raison de fonctionner dans le cas infini :

Par exemple si on considère un métro avec une infinité (dénombrable, c'est à dire que l'on peut compter avec les entiers) de stations dont une dernière station nommée $\text{[math]}$ , le métro quitte la station 0 à vide et à chaque station il monte 10 voyageurs et il en descend 1. On voit bien qu'à chaque station (fini) le nombre de voyageurs augmente, alors qu'à la station $\text{[math]}$ , il peut très bien ne plus avoir de voyageurs dans ce métro

**andretou** · 23/01/2018, 14h29

Envoyé par Médiat

Vous touchez du doigt ce que Bolzano appelait "les paradoxes de l'infini".

Il suffit de se mettre dans la tête qu'un raisonnement qui fonctionne dans le cas fini, n'a, a priori, aucune raison de fonctionner dans le cas infini :

Par exemple si on considère un métro avec une infinité (dénombrable, c'est à dire que l'on peut compter avec les entiers) de stations dont une dernière station nommée $\text{[math]}$ , le métro quitte la station 0 à vide et à chaque station il monte 10 voyageurs et il en descend 1. On voit bien qu'à chaque station (fini) le nombre de voyageurs augmente, alors qu'à la station $\text{[math]}$ , il peut très bien ne plus avoir de voyageurs dans ce métro

Ou même, avoir un nombre négatif de voyageurs (d'après le théorème de réarrangement de Riemann) ?

invite82078308 · 23/01/2018, 14h30

Considérons le système de Ponzi:
Avec une infinité de pigeons, tout le monde peut gagner de l'argent.
Si le nombre de pigeons potentiels est fini, cela ne peut pas marcher.

**stefjm** · 23/01/2018, 14h33

Il y a aussi la martingale pour gagner à la roulette paire-impaire sans 0 perdant.
Double la mise si perd et empoche si gagne.

Cela marche avec une somme à miser infinie, beaucoup moins bien avec un plafond.

invite9dc7b526 · 23/01/2018, 14h37

Envoyé par andretou

J'essaie simplement d'appréhender cette idée que je trouve incroyable, à savoir que du continu ajouté à du continu peut produire du non-continu, ou que du défini ajouté à du défini peut produire du non-défini !

intuitivement une discontinuité dans le graphe d'une fonction c'est une marche d'escalier, c'est-à-dire une pente infiniment raide. Pour obtenir par passage à la limite une discontinuité à partir de fonctions continues, on fait en sorte d'avoir des pentes de plus en plus raides. Donc on est pour chaque valeur de n dans ce que tu appelles "la stabilité ou l'ordre" mais cette stabilité est de plus en plus précaire et à la limite elle a disparu. (tout ce que je viens d'écrire n'a aucune valeur mathématique, c'est pour essayer de te faire comprendre la chose).

**Médiat** · 23/01/2018, 15h32

Envoyé par andretou

Ou même, avoir un nombre négatif de voyageurs (d'après le théorème de réarrangement de Riemann) ?

Non, cela n'a rien à voir !

**andretou** · 23/01/2018, 15h43

Envoyé par Médiat

Non, cela n'a rien à voir !

Ok. Mais alors comment arrive-t-on à la possibilité qu'il y ait 0 voyageur à l'arrivée avec cette série 10-1+10-1+10-1+... ?

la somme infinie de fonctions continues est-elle une fonction continue ?

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