Formes linéaires continues en dimension infinie

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai entendu un professeur de mathématiques faire la remarque suivante : "D'une certaine manière, il n'y a pas de forme linéaire continue en dimension infinie", et j'aimerais comprendre ce qu'il entendait par là.

J'ai pensé que c'était à cause de l'utilisation de l'axiome du choix dans la démonstration du théorème de Hahn-Banach, qui permet notamment d'étendre une forme linéaire continue définie sur un sous-espace en une forme linéaire continue sur l'espace tout entier ; donc la continuité des formes linéaires en dimension finie implique l'existence de formes linéaires continues en dimension infinie.

Comment comprenez-vous cette remarque ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invitea07f6506]

Sans contexte, je ne la comprends pas. En général, il n'y a pas besoin d'utiliser le théorème de Hahn-Banach pour exhiber des formes linéaires continues sur un espace de Banach, et on connaît assez bien l'espace dual (dualité - , généralisations pour les espaces de Sobolev ou des espaces fonctionnels encore plus tordus, espaces de mesures...).

Par exemple, si je me place dans l'espace des fonctions continues sur un espace métrique compact , que je le munis de la norme infinie, et que je choisis un point dans , alors est bien un forme linéaire continue... Pas besoin d'étendre abstraitement une forme linéaire définie sur un sous-espace de dimension finie.

Il me faudrait un peu plus de contexte pour savoir ce qu'il a voulu dire par là (et notamment par "d'une certaine manière") : en l'état actuel, c'est faux, et je ne vois pas comment lui donner un sens.

[invited749d0b6]

J'ai entendu un professeur de mathématiques faire la remarque suivante : "D'une certaine manière, il n'y a pas de forme linéaire continue en dimension infinie", et j'aimerais comprendre ce qu'il entendait par là.

On peut comprendre la remarque comme cela.
Sur un espace de dimension infinie (si il n'y a pas de norme), on ne peut pas définir ce qu'est une forme linéaire continue.

Alors que sur -ev de dimension finie, il n'y a qu'une seule norme à équivalence près qui rendent les opérations
continues, donc on peut définir ce qu'est une forme linéaire continue.

Sur un espace de dimension infinie, toute forme linéaire à part la forme nulle peut-être rendue non continue en mettant une norme non adaptée sur l'espace vectoriel.

[invitea07f6506]

D'un autre côté, parler de formes linéaires continues sans avoir spécifié la topologie sous-jacente, franchement...

[A voir en vidéo sur Futura]