Définition de surface

[invite270c37bc]

Bonjour,
J'essaye de comprendre la notion de surface. Il est dit dans mon cours que l'on doit trouver un ensemble (A) et une fonction (phi) qui satisfont certaines propriétés. Et notamment, que pour toute paires de points de la surface (notons u_i, v_i) on a :

Norme de Phi u ^ phi v \neq 0

I.e. Que la norme d'un produit vectorielle entre deux points quelconques de l'espace d'arrivée est toujours différente de 0.

Auriez vous un exemple d'un cas où ça ne serait pas le cas ? Je ne saisis pas ce que designerait le cas où la normale serait égale à 0.


Merci!
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[invite51d17075]

bjr,
aurais tu le texte exact et complet ? ,
entre autre parce qu'un produit vectoriel entre deux points, ça n'existe pas.
phi est certainement une fct telle que phi(u) est un vecteur.

[Amanuensis]

Annulé ....

[invite270c37bc]

Alors... Le but est de definir une surface reguliere et orientable.
Pour l'heure, l'ensemble de depart A est dans R2
Phi va de ladherance de A dans la surface
On veut que le bord de A soit une courbe simple reguliere par morceau et fermée
Phu doit etre injective
On definit le produit vectorielle comme on l'aurait effectivement fait dans R3



Comment ça c'est pas la normale qui doit etre non nulle ? Puisqu'on definit la normale comme : le produit vectorielle sur sa norme... Si le produit tendait vers le vecteur nulle il se passerait quoi ?

Et j'entends que u et v devraient former une base... Mais le truc c'est que ça ne me semble pas impossible quand on crée une surface de trouver deux vecteurs colineaires... Donc j'en deduis que c'est souvent égale à 0... Sauf que dans le cadre de cette définition c'est interdit donc mon raisonnement doit pecher quelque part...

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je reprends:

Mon interprétation est que φ n'est pas une fonction de la coordonnée au point considérée, mais une fonction du champ u, fonction vectorielle définie en chaque point. Il s'agit par exemple du gradient de u sur la surface. Si en un point φ(u) et φ(v) sont colinéaires (kif-kif produit vectoriel nul), les coordonnées sont mal fichues, elles ne définissent pas une surface (mais localement seulement une ligne).

Edit: collision avec le message précédent, qui montre que mon interprétation de φ n'est pas bonne.

[Amanuensis]

Puisqu'on definit la normale comme : le produit vectorielle sur sa norme...

Si on divise par la norme et que la norme est nulle, il y a un problème, non?

[invite9dc7b526]

Alors... Le but est de definir une surface reguliere et orientable.
Pour l'heure, l'ensemble de depart A est dans R2
Phi va de ladherance de A dans la surface
On veut que le bord de A soit une courbe simple reguliere par morceau et fermée
Phu doit etre injective

et si tu donnais la définition complète? là ça ne ressemble pas à la définition classique (en gros un espace topologique dans lequel chaque point a un voisinage homéomorphe au disque unité de R^2, avec des conditions de recollement entre les divers homéomorphismes)

[invite270c37bc]

Il y a tout... Il manque peut etre juste que jecrive l'expression d'un produit vectoriel... Mais j'ai suppose que vous le connaissiez. Je suis pas dans un cours de topo mais d'analyse... D'où peut etre la difference de définition. Je regarderai votre definition elle a l'air intéressante.

Si ça vous convient pas je vous enverrai une photo du pdf du cours avec toutes les def...

[invite270c37bc]

Voila, je crois pas avoir dit de bêtises...

[Amanuensis]

Déjà, il n'y a pas de φ dans ce texte...

La fonction σ va d'un espace de coordonnées A (oublions pour le moment la question de la frontière) vers la variété R³. A est un sous-ensemble de R². σ est injective, elle a une réciproque sur σ(A), cette réciproque est la fonction qui a un point associe ses coordonnées dans R².

n'est pas défini dans le texte, il doit l'être dans le cours. Quelle est cette définition? (Indice: σ est C1, différentiable ; de quelle notion de dérivation s'agit-il?)

[invite9dc7b526]

C'est pas bien joli le (entre autres) dans une définition mathématique...

[invite51d17075]

Pièce jointe 374892

Voila, je crois pas avoir dit de bêtises...

bjr,
quel est le sens de ce commentaire , si c'est une recopie d'un cours mathématique ?
par ailleurs, je serais curieux d'en connaitre l'origine, car je "découvre" cette formulation.
qui d'ailleurs ne me semble pas très claire.
Et le texte est il cette fois ci complet ? car il y a déjà une grosse différence avec le premier post

[Amanuensis]

La formulation sera claire quand la définition de sera donnée.

(Je suis raisonnablement sûr de savoir ce que cela représente, mais je préfère que le primo-posteur le retrouve dans son cours et l'indique.)

(Et le primo-posteur parlait d'éventuelles «bêtises» dans le message #1.)

[invite51d17075]

(Je suis raisonnablement sûr de savoir ce que cela représente, mais je préfère que le primo-posteur le retrouve dans son cours et l'indique.)

moi aussi, vu la définition de la régularité de la surface que je connais.
mais quelle présentation compliquée !

[Amanuensis]

Typique d'une approche «analytique», par les coordonnées.

[invite270c37bc]

bonjour du jour !

Je suis pas sûr d'avoir saisi les différentes interrogations que vous avez...
Ainsi je vais répondre aux questions sur mon cours que j'ai réussi à extraire de vos messages.

Déjà je suis le cours de Mr Dacorogna à l'EPFL (https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernard_Dacorogna), c'est un cours d'analyse vectorielle et complexe. On voit les intégrales et pour cela on avait besoin de la notion de surface... D'où ma question parce que comprendre la portée des définitions est très important.

Effectivement, j'ai pas mis le terme sigma mais phi pcq mon objectif n'est pas non plus de trahir mon identité sur ce forum ^^' (j'ai bien réussi aux vu des questions posées et de ma réponse). Le sigma _ u désigne tout naturellement l'évaluation de sigma au point u j'imagine... c'est comme ça que je le comprenais du moins.

Vous parlez de notion de dérivation... je suis pas sûr de comprendre. Mais Mr Dacorogna a donné quelques définitions de C^1 dans son cours... j'avoue les trouver un peu pompeuses et parfois étranges (notamment il donne une définition pour C^1 plus forte que l'autre... à l'aide d'ouvert dans lequel le fermé sur lequel la fonction est définie est inclu). Mais je pense qu'en se restreignant à celle classique : sigma C^0 et de dérivés partielles continues suffit amplement ici.

Est ce que j'ai répondu à ce qu'il fallait ? Ma question porte donc toujours sur la compréhension de la notion et notamment celle de vecteur normal différent de 0.
Si vous avez une autre définition de surface, je serais curieux de la voir, mais comprenez que je commence à peine la Topo donc une définition à l'aide de voisinage risque peut être d'être légèrement trop difficile pour moi.


merci

[invite51d17075]

Le sigma _ u désigne tout naturellement l'évaluation de sigma au point u j'imagine... c'est comme ça que je le comprenais du moins.

non,
est définie de R^2 ds R^3, ( définition de la surface sous forme paramétrique )
c'est la raison pour laquelle on évoque par la suite .
est très certainement
et le produit vectoriel doit être non nul, condition pour une surface régulière.

ps: c'est ce produit vectoriel qui est la normale à la surface.

ou alors, je n'y comprend plus rien !

ps : que vient faire ton anonymat dans cette histoire ????

[Amanuensis]

est très certainement

Oui, mais on écrit plutôt , c'est une dérivée partielle, de valeur dans les vecteurs de R³. En notation différentielle on a

[invite51d17075]

bien sur, je ne me souvenais plus du symbole Latex ( voir mon fil sur ce sujet )
ici \partial et non \delta .

[Amanuensis]

Notons aussi que l'écriture est commune. Il me semble que le prof aurait mieux fait d'utiliser cela plutôt que , mais cela dépend de l'auditoire.

[invite270c37bc]

ah oui... non effectivement c'est une notation courante chez nous... genre pour f_xi.
Et ça change pas mal de choses ! Je comprends très bien maintenant ... en fait on n'a pas le droit d'envoyer la base u,v sur une ligne droite... c'est bien cela?


merci beaucoup pour vous être arraché les cheveux pour moi ça fait plaisir

[Amanuensis]

ah oui... non effectivement c'est une notation courante chez nous... genre pour f_xi.
Et ça change pas mal de choses ! Je comprends très bien maintenant ... en fait on n'a pas le droit d'envoyer la base u,v sur une ligne droite... c'est bien cela?

On peut le dire comme ça...