Bornes supérieures et inférieurs

[invite50a0e7c1]

Bonjour j'ai besoin de l'aide pour un exo de DS .

Soit l'ensemble A= (1/n + E(2/n) / (n+2) / n appartient a N*

1- Montrer que A est non vide et bornée dans R : j'ai utilisé la proprité de la partie entiere qui dit que 2/n - 1 <E(2/n)< 2/n , j'ai abouti à : (3-n)/n(n+2) <(1/n + E(2/n) / (n+2)<3/n(n+2) donc A est bornée dans R
2- Montrer que A admet un plus grand élement et le determiner : Soit la suite un=(1/n + E(2/n) (n+2) , U1= 1 , U2 = 3/8 , U3= 1/15 , U4 = 1/24 , on remarque que cest une suite décroissante donc supA = 1 , et puisque 1 appartient a l'ensemble A , donc c'est un plus grand élement
3- Soit a = inf A
a- On suppose que a > 0 . Montrer qu'il existe p appartenant a N tel que p> 2 et 1/(p^2+2p)< a c'est la ou je trouve un probleme , Merci d'avance
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[invite51d17075]

Bonjour j'ai besoin de l'aide pour un exo de DS .

Soit l'ensemble A= (1/n + E(2/n) / (n+2) / n appartient a N*

bjr,
avant d'aller plus loin, il est nécessaire que tu précises A
- il manque des parenthèses, et l'expression de A est donc illisible.
je n'ose dire à quoi elle ressemble si on la prend telle quelle.
-E(2/n)=2 pour n=1, 1 pour n=2 et 0 pour tout autre entier , est ce bien cela ?

[jacknicklaus]

je suppose que c'est

non seulement il manquait une parenthèse, mais il y avait un "\" en trop.

Attendons confirmation du primo posteur pour la bonne expression,.... s'il veut toujours de l'aide.

[invite51d17075]

je suppose que c'est

c'est certainement la bonne ( la seule qui correspond aux premiers calculs )
partant de ce principe, ma première remarque est qu'il conjecture qu'elle est décroissante mais ne le démontre pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50a0e7c1]

Oui ce que vous avez cité est la bonne expression , pour la 1ere question y a t il une meilleure alternative ?

[invite51d17075]

Soit la suite un=(1/n + E(2/n) (n+2) , U1= 1 , U2 = 3/8 , U3= 1/15 , U4 = 1/24 , on remarque que cest une suite décroissante donc supA = 1 , et puisque 1 appartient a l'ensemble A , donc c'est un plus grand élement

remarquer sur les première valeurs n'est pas une démo, c'est une conjecture qu'il faut ensuite prouver analytiquement.
il suffit de le constater sur les premières valeurs ( quand le E(2/n) est non nul ) puis de montrer que
1/(n(n+2)) est décroissante.

[invite50a0e7c1]

Bonsoir , Pour n= 1 on a U1= 1 , pour n=2 U2=3/8 , Montrons que pour n>2 la suite est décroissante .

J'aboutit a Un+1-Un = [(-2n-3)]/[n(n+1)(n+2)(n+3)]<0 quelque soit n appartenant a N la suite est décroissante sur N

Je pense que cette démarche est la bonne , pour la 3eme question pourriez vous me donner une idée , et merci encore une fois

[invite50a0e7c1]

Mon idée : Pour p>2 on a : 2p<(p^2 + 2p) ===> 1/(p^2 + 2p) < 1/2p

Soit a un réel strictement positif et p un entier relatif donc p>a==> 2p>2a===> 1/2p<1/2a<a car R est archimédien

donc 1/(p^2 + 2p) < 1/2p < a

[invite51d17075]

j'ai un souci de lecture de ton énoncé.
A est l'ensemble des Un ( n app à N* )
Hors Un tend vers 0
quel sens donner à : a = inf(A) et "supposons a>0" ????

[invite50a0e7c1]

Ce n'est pas mon énoncé , et oui il y a une contradiction ici car inf A est 0 , alors qu'on a supposé que a est strictement positif

[invite51d17075]

oui, donc il existe p tel que 1/(p(p+2))<a
qu'en déduire sur a qui est sensé être inf(A) ?

[invite51d17075]

c'est un raisonnement par l'absurde .(*)
on montre que si a>0 il existe un p tel que u(p) <a , a ne peut être inf(A)
donc il est nul.

(*) l'énoncé n'est pas faux , puisque a>0 est proposé comme une hypothèse , dont on montre qu'elle ne tient pas.

[invite50a0e7c1]

La prochaine question : En déduire la valeur de a , et je ne vois pas comment on pourrais déduire ca de la relation précedente

[invite51d17075]

m'enfin a est forcement nul.
puisque a>0 trouve tj un contre exemple dans A ; p< a
donc inf(A)=0 ( sachant que tout élément de A est positif ).

relis la suite des messages.

[invite50a0e7c1]

Ah oui je vois , je n'ai pas vu votre message précedent . Merci beacoup pour votre aide