Soit f: R---->R dérivable en 0 et telle que pour tout x de R, f(x/2) = (1/2) f(x).
Montrer qu'il existe un réel a tel que pour tout x de R, f(x) = a.x
on remarque que f(0)=0 et je calcule pour x différent de 0 lim((f(x+h)-f(x))/h en posant f(x) = 2nf(x/2n) quel que soit n, pour essayer de montrer que f'(x) = f'(0) mais j'ai besoin me semble-t-il de la continuité de f' en 0.
( soit epsilon>0, je n'arrive pas à choisir n et h dans le bon ordre)
Merci à celui qui peut m'aider.
Bonjour.
C'est une propriété de base de la dérivation que si f est dérivable en a elle est continue en a. Et ça se démontre facilement avec la définition.
Cordialement.
je n'ai pas regardé en détail, mais jeanlouisb pense devoir utiliser la continuité de la dérivée en 0 ( qui n'est pas explicitement spécifiée ) pas celle de la fonction.
Ah oui,
à ma connaissance, ce n'est pas nécessaire. Mais c'est loin !
Comme on n'a pas le détail, difficile de l'aider.
Cordialement.
suggestion :
en remarquant pour 1 ( comme tu le fais )
pour tout n !
et en posant la suite
comme f dérivable en 0
d'où f(1)=f'(0)
à partir de là , plusieurs possibilités.
bien sur c'est de la continuité en 0 de la dérivée que je parle.
jean-louis
Ça ne fait pas partie des hypothèses.
Cordialement.
OK ANSETT pour f(1) = f'(0)
mais comment passer de là à f(x) = a.f(1) ?
ben, si tu souhaites l'utiliser
f(1)=f'(0) est utile car de ce fait
pour tout n
par encadrement de x proche de 0, tu peux montrer la continuité de la dérivée en 0
je voulais dire f(x) = x.f(1) (ou x.f'(0)).
à côté de 0 dans le cas général tout peut arrivé: exemple f(0)=0 et f(x) = x²sin(1/x) dérivable en 0 et la dérivée est discontinue oscillant de plus en plus rapidement.
oui gg0 la dérivée en 0 de f' ne fait pas partie des hypothèses.
et j'ai la très forte intuition qu'elle n'a pas besoin d'y faire partie, c'est là tout l'objet de ma demande.
L'énoncé et clair et probablement suffisant.
c'est plutôt f(x)=f'(0)x=f(1)xEnvoyé par jeanlouisb
Bonjour,
Comment êtes vous passé de ce qui précède à :
?
parce que pour tout n f(Un)/Un=f(1)
Je n'ai pas compris non plus pourquoi le f(1)=f'(0) peut être utile.
Par contre si tu dérives cela :
f(x/2) = (1/2) f(x)
tu obtiens
1/2 f'(x/2) = 1/2 f'(x) d'où
pour tout x, f'(x) =f'(x/2) = f'(x/4) = f'(x/8) etc.
Si on suppose la dérivée continue on aboutit à f'(x) = cste
Pour ansett: oui bien sur c'est f(x) = x f'(0) (je l'avais corrigé ds mon message de 14h00)
Merci
Jean-Louis
oui facile dans ce cas mais on ne sait pas que f' est continue en 0 ni que f est dérivable partout (c'est à dire en x et en x/2)
l'énoncé ne dit pas que f est dérivable partout justement.
oui je vois.
J'ai du mal à voir comment démontrer cela mais on remarque que :
f(x) = 2 f(x/2) = 4 f(x/4) = 8 f(x/8)= 2n f(x/2n)
Comment f est dérivable en 0, il faut montrer que sur un voisinage en 0 de on f(x) = f'(0) x, et là je ne vois pas.
Reprenons au début :
En posant
En prenant
Et aussi :
Donc a=f'(0)
Soit maintenant un
Donc pour tout
Cordialement.
Inutile , car autre présentation de la même démarche.
Ansset,
c'est, dans la première partie, ta démarche, complétement rédigée pour pouvoir être reprise dans une deuxième partie, qui démontre le résultat attendu. Je n'ai pas vu (peut-être ai-je mal lu ?) à quel endroit tu traites du cas général de f(x) sans que x soit une puissance de 2 (même le f(0) que tu as supposé nul sans le justifier).
En dehors de la justification complète, ma seule contribution est de remarquer que le travail fait avec f(1) permet de prouver que pour un x quelconque, f(x)=ax.
Cordialement.
le f(0) nul avait déjà été donné au tout début du fil sans le justifier, oubli de ma part d'y revenir.
sinon, j'ai bien vu que c'était une autre écriture ( dans le même esprit ) et qui abouti à a=f'(0)=f(1)
et effectivement, je souhaitais prolonger à l'instant mais un peu différemment.
mais pour éviter des "presque-doublon" , j’attends les réactions.
Ah, désolé si je t'ai coupé l'herbe sous le pied. Mais la remarque de merlin95 sur le voisinage de 0 me semblait ne mener à rien.
Cordialement.
pas de soucis.
Je suis d'accord depuis le début avec tout ce qui est écrit mais je ne vois pas comment rédiger le passage à x quelconque dans R.
Bien sur c'est la dérivabilité en 0 qui "force" tout sinon il y aurait une infinité d'autres fonctions différentes qui marcheraient y compris des fonctions continues nulle part comme:
f(x) = 3x pour x appartenant à Q et f(x) = 5x pour x appartenant à R-Q. La multiplication par 2 ou par 1/2 ou par 3 ou 5 ne fait pas sortir de chacun de ces ensembles.
Jean-Louis
Pas évident de le faire comme je le vois.
OK j'ai vu la rédaction, en fait j'y étais presque dans mon premier message mais il m'avait semblé à tord avoir besoin de la continuité en 0 de f'.
Voilà ce que je propose:
f0)=0 (on fait simplement x=0 dans l'énoncé f(x/2)=1/2f(x).
soit x un réel non nul, j'ai aussi f(x/2n)=(1/2n)f(x) (message n°1 démonstration par récurrence).
f'(0)=lim en 0 de f(h)/h = lim en +infini de f(x/2n)/(x/2n) = lim en + infini de (1/2n)f(x)/(x/2n) = f(x)/x (suite constante).
et on pose a=f'(0)=f(x)/x d'où le résultat f(x) = a.x avec a = f'(0) qui existe par hypothèse. Donc pas du tout besoin de la dérivabilité de f' en 0.
Merci à tous.
Jean-Louis.
La démonstration de la continuité de f' en 0 est inutile ( même si elle s'avère vraie ) en revanche f doit être définie sur R.
Il suffit de prendre pour un x donné une nouvelle suite
et tout comme le
donc
d'ou
