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exo dérivation




  1. #1
    jeanlouisb

    exo dérivation

    Soit f: R---->R dérivable en 0 et telle que pour tout x de R, f(x/2) = (1/2) f(x).
    Montrer qu'il existe un réel a tel que pour tout x de R, f(x) = a.x

    on remarque que f(0)=0 et je calcule pour x différent de 0 lim((f(x+h)-f(x))/h en posant f(x) = 2nf(x/2n) quel que soit n, pour essayer de montrer que f'(x) = f'(0) mais j'ai besoin me semble-t-il de la continuité de f' en 0.
    ( soit epsilon>0, je n'arrive pas à choisir n et h dans le bon ordre)
    Merci à celui qui peut m'aider.

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : exo dérivation

    Bonjour.

    C'est une propriété de base de la dérivation que si f est dérivable en a elle est continue en a. Et ça se démontre facilement avec la définition.

    Cordialement.

  4. #3
    ansset

    Re : exo dérivation

    je n'ai pas regardé en détail, mais jeanlouisb pense devoir utiliser la continuité de la dérivée en 0 ( qui n'est pas explicitement spécifiée ) pas celle de la fonction.
    Dernière modification par ansset ; 11/10/2018 à 12h21.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !


  5. #4
    gg0

    Re : exo dérivation

    Ah oui,

    à ma connaissance, ce n'est pas nécessaire. Mais c'est loin !
    Comme on n'a pas le détail, difficile de l'aider.

    Cordialement.

  6. #5
    ansset

    Re : exo dérivation

    suggestion :
    en remarquant pour 1 ( comme tu le fais )
    pour tout n !
    et en posant la suite
    comme f dérivable en 0

    d'où f(1)=f'(0)
    à partir de là , plusieurs possibilités.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    bien sur c'est de la continuité en 0 de la dérivée que je parle.
    jean-louis

  9. #7
    gg0

    Re : exo dérivation

    Ça ne fait pas partie des hypothèses.

    Cordialement.

  10. Publicité
  11. #8
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    OK ANSETT pour f(1) = f'(0)
    mais comment passer de là à f(x) = a.f(1) ?

  12. #9
    ansset

    Re : exo dérivation

    ben, si tu souhaites l'utiliser
    f(1)=f'(0) est utile car de ce fait
    pour tout n

    par encadrement de x proche de 0, tu peux montrer la continuité de la dérivée en 0
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    je voulais dire f(x) = x.f(1) (ou x.f'(0)).
    à côté de 0 dans le cas général tout peut arrivé: exemple f(0)=0 et f(x) = x²sin(1/x) dérivable en 0 et la dérivée est discontinue oscillant de plus en plus rapidement.

  14. #11
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    oui gg0 la dérivée en 0 de f' ne fait pas partie des hypothèses.
    et j'ai la très forte intuition qu'elle n'a pas besoin d'y faire partie, c'est là tout l'objet de ma demande.
    L'énoncé et clair et probablement suffisant.

  15. #12
    ansset

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par jeanlouisb Voir le message
    OK ANSETT pour f(1) = f'(0)
    mais comment passer de là à f(x) = a.f(1) ?
    c'est plutôt f(x)=f'(0)x=f(1)x
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #13
    Merlin95

    Re : exo dérivation

    Bonjour,

    Comment êtes vous passé de ce qui précède à :

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    d'où f(1)=f'(0)
    ?

  17. #14
    ansset

    Re : exo dérivation

    parce que pour tout n f(Un)/Un=f(1)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    Merlin95

    Re : exo dérivation

    Je n'ai pas compris non plus pourquoi le f(1)=f'(0) peut être utile.
    Par contre si tu dérives cela :

    f(x/2) = (1/2) f(x)
    tu obtiens
    1/2 f'(x/2) = 1/2 f'(x) d'où
    pour tout x, f'(x) =f'(x/2) = f'(x/4) = f'(x/8) etc.
    Si on suppose la dérivée continue on aboutit à f'(x) = cste

  19. #16
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    Pour ansett: oui bien sur c'est f(x) = x f'(0) (je l'avais corrigé ds mon message de 14h00)
    Merci
    Jean-Louis

  20. #17
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    oui facile dans ce cas mais on ne sait pas que f' est continue en 0 ni que f est dérivable partout (c'est à dire en x et en x/2)

  21. #18
    ansset

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Je n'ai pas compris non plus pourquoi le f(1)=f'(0) peut être utile.
    Par contre si tu dérives cela :

    f(x/2) = (1/2) f(x)
    tu obtiens
    1/2 f'(x/2) = 1/2 f'(x) d'où
    pour tout x, f'(x) =f'(x/2) = f'(x/4) = f'(x/8) etc.
    Si on suppose la dérivée continue on aboutit à f'(x) = cste
    l'énoncé ne dit pas que f est dérivable partout justement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #19
    Merlin95

    Re : exo dérivation

    oui je vois.

  23. #20
    Merlin95

    Re : exo dérivation

    J'ai du mal à voir comment démontrer cela mais on remarque que :

    f(x) = 2 f(x/2) = 4 f(x/4) = 8 f(x/8)= 2n f(x/2n)

    Comment f est dérivable en 0, il faut montrer que sur un voisinage en 0 de on f(x) = f'(0) x, et là je ne vois pas.

  24. #21
    gg0

    Re : exo dérivation

    Reprenons au début :

    En posant , on trouve que pour tout nombre de la forme , on a .
    En prenant , comme le dit Ansset, on remarque d'abord que la suite tend vers 0 et, f étant continue en 0 (puisque dérivable) . Puis

    Et aussi :

    Donc a=f'(0)

    Soit maintenant un , réel quelconque. Posons . En reprenant le même procédé, on prouvera que (je laisse ça à titre d'exercice pour Jeanlouisb)

    Donc pour tout , avec .

    Cordialement.

  25. #22
    ansset

    Re : exo dérivation

    Inutile , car autre présentation de la même démarche.
    Dernière modification par ansset ; 11/10/2018 à 16h07.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #23
    gg0

    Re : exo dérivation

    Ansset,

    c'est, dans la première partie, ta démarche, complétement rédigée pour pouvoir être reprise dans une deuxième partie, qui démontre le résultat attendu. Je n'ai pas vu (peut-être ai-je mal lu ?) à quel endroit tu traites du cas général de f(x) sans que x soit une puissance de 2 (même le f(0) que tu as supposé nul sans le justifier).
    En dehors de la justification complète, ma seule contribution est de remarquer que le travail fait avec f(1) permet de prouver que pour un x quelconque, f(x)=ax.

    Cordialement.

  27. #24
    ansset

    Re : exo dérivation

    le f(0) nul avait déjà été donné au tout début du fil sans le justifier, oubli de ma part d'y revenir.
    sinon, j'ai bien vu que c'était une autre écriture ( dans le même esprit ) et qui abouti à a=f'(0)=f(1)

    et effectivement, je souhaitais prolonger à l'instant mais un peu différemment.
    mais pour éviter des "presque-doublon" , j’attends les réactions.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #25
    gg0

    Re : exo dérivation

    Ah, désolé si je t'ai coupé l'herbe sous le pied. Mais la remarque de merlin95 sur le voisinage de 0 me semblait ne mener à rien.

    Cordialement.

  29. #26
    ansset

    Re : exo dérivation

    pas de soucis.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. #27
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    Je suis d'accord depuis le début avec tout ce qui est écrit mais je ne vois pas comment rédiger le passage à x quelconque dans R.
    Bien sur c'est la dérivabilité en 0 qui "force" tout sinon il y aurait une infinité d'autres fonctions différentes qui marcheraient y compris des fonctions continues nulle part comme:
    f(x) = 3x pour x appartenant à Q et f(x) = 5x pour x appartenant à R-Q. La multiplication par 2 ou par 1/2 ou par 3 ou 5 ne fait pas sortir de chacun de ces ensembles.
    Jean-Louis

  31. #28
    Merlin95

    Re : exo dérivation

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ah, désolé si je t'ai coupé l'herbe sous le pied. Mais la remarque de merlin95 sur le voisinage de 0 me semblait ne mener à rien.

    Cordialement.
    Pas évident de le faire comme je le vois.

  32. #29
    jeanlouisb

    Re : exo dérivation

    OK j'ai vu la rédaction, en fait j'y étais presque dans mon premier message mais il m'avait semblé à tord avoir besoin de la continuité en 0 de f'.
    Voilà ce que je propose:

    f0)=0 (on fait simplement x=0 dans l'énoncé f(x/2)=1/2f(x).
    soit x un réel non nul, j'ai aussi f(x/2n)=(1/2n)f(x) (message n°1 démonstration par récurrence).
    f'(0)=lim en 0 de f(h)/h = lim en +infini de f(x/2n)/(x/2n) = lim en + infini de (1/2n)f(x)/(x/2n) = f(x)/x (suite constante).
    et on pose a=f'(0)=f(x)/x d'où le résultat f(x) = a.x avec a = f'(0) qui existe par hypothèse. Donc pas du tout besoin de la dérivabilité de f' en 0.
    Merci à tous.
    Jean-Louis.

  33. #30
    ansset

    Re : exo dérivation

    La démonstration de la continuité de f' en 0 est inutile ( même si elle s'avère vraie ) en revanche f doit être définie sur R.
    Il suffit de prendre pour un x donné une nouvelle suite

    pour tout n
    et tout comme le précédent tend vers 0 ( f(x) est définie )
    donc

    d'ou
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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