Bornes supérieures et inférieurs

[invite50a0e7c1]

Bonjour j'ai un problème pour cette question
Soit A une partie bornée et non vide de R et B=[ lx-yl , (x,y)∊ AxA].

Montrer que sup B = supA - inf A
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[gg0]

Bonjour.

Comme toujours, il te suffit démontrer que sup(A)-inf(A) est un majorant de B (facile), puis de démontrer que c'est le plus petit.
A toi de faire ...

Cordialement.

[invite50a0e7c1]

en notant m et M l'inf et le sup de A on a M-m>lx-yl quelque soit x et y appartenant a A ,supA-supB est un majorant de B

[gg0]

Eh bien, fais la suite ...

Ce n'est pas "supA-supB" mais supA-infA". Ne confonds pas les deux exercices.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50a0e7c1]

J'ai aucune idée pour le reste

[gg0]

Ben ... c'est assez évident, ce qu'il faut faire : soit tu prends un nombre plus petit que supA-infA et tu montres que ce n'est pas un majorant (en utilisant les définitions de supA et infA), soit tu prends un majorant N de B et tu prouves N>=supA-infA.
C'est à toi de faire ...

[invite9225d5b0]

le plus classique c'est de montre que sup B<= supA - inf A puis que sup B>= supA - inf A
avec l'inegalité triangulaire inverse tu a facilement supA - inf A<= sup B
et tu a sup(A) => lxl et -inf(A) => - lyl donc en faisant la somme membre a membre des deux inequation et tu normalise tu a supA - inf A>=sup B
le tour est jouet