Interprétation de l'espérance conditionnelle

[invite9781bd99]

Bonjour,

Je me suis replongé dans les probabilités mais j'ai un problème d'interprétation sur l'espérance conditionnelle.
Si on considère deux variables aléatoires X et Y, alors E(X|Y) est une nouvelle variable aléatoire.

Du coup, j'interprète
où .
Mais pour une tribu , comment je peux interpréter ou calculer ?
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[invite9dc7b526]

bonjour, la notion fondamentale est celle d'espérance conditionnelle par rapport à une sous-tribu. E(X|Y) n'est que l'espérance conditionnelle par rapport à la tribu engendrée par Y. Dans le cas général je ne crois pas qu'il y ait d'interprétation simple. Mais dans les applications la sous-tribu considérée peut être décrite en termes imagés. Par exemple dans le cas d'un processus ..,Yn-1,Yn,Yn+1,... on va parfois conditionner par rapport à la tribu engendrée par les Yi pour i<n, ce qu'on peut qualifier de "tribu des événements passés".

[invite23cdddab]

E(X|B) est en quelque sorte la meilleure approximation de X qui soit B mesurable.

Si , alors on peut voir E(X|B) comme la projection orthogonale de X sur le sous espace