orthogonal de l'union de deux ensembles

[invite05ccbb13]

Bonjour,

Je veux montrer que

Soit Pour tout on a
Si alors et donc d'où
Si alors et donc d'où

Comment est-ce que peut-être simultanément dans et dans ?
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[gg0]

Bonjour.

ta démonstration pêche par le fait que tu sembles donner le choix, pour x entre appartenir à A ou appartenir à B. Cela, parce que tu ne respectes pas la définition de l'orthogonal.
Ce n'est pas "Si " qui permet de prouver Revois la définition. Et une fois bien rédigé (y ne dépent pas de x !!), tu verras que tu as bien ce que tu veux.

Cordialement.

[invite05ccbb13]

Soit
Par définition, pour tout on a
Alors pour tout on a ainsi
et pour tout on a ainsi
Donc et ainsi

Dans cette preuve, le et me pose problème car par définition de l'union : signifie ou donc on devrait remplacer le et par un ou dans la preuve ci-dessus.

[gg0]

Tu te mélanges les pinceaux, tu oublies le "pour tout " qui est dégradé en "pour tout ", puisque ce qui est vrai pour tout élément d'un ensemble est vrai pour tout élément d'un sous-ensemble. Il n'y a pas à ce moment-là de "et" ou de "ou".
Et ce n'est pas parce qu'on utilise le symbole U à un moment donné qu'on a obligatoirement un ou qui doit apparaître. Tout dépend de ce qu'on fait. ici, on ne traduit pas on s'en sert !!

Cordialement.

NB : Il ne faut pas confondre les connecteurs logiques et les conjonctions de coordination. L'union traduit un ou logique, alors que ton premier "et" est une conjonction de coordination, qui marque le lien entre deux étapes de ta rédaction. Tu peux l'enlever, ou mettre par exemple "mais on a aussi".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite05ccbb13]

Bonjour,

On se sert du résultat

On a
mais on a aussi

Donc
Le raisonnement est-il juste ?

[gg0]

"Le raisonnement est-il juste ?"
Y a-t-il une étape où tu n'appliques pas une règle mathématique (définition, axiome, théorème) ? Si oui, ce n'est plus un raisonnement. Si non, tu connais déjà la réponse.
Tu peux faire ce genre de vérification à chaque fois que tu rédiges une démonstration. Ça permet :
1) d'être sûr de ce qu'on a fait
2) de voir parfois que ce qu'on a fait "ne tient pas la route"
3) dans certains cas de mettre suffisamment en doute la preuve pour trouver un contre exemple (basé sur les failles de la démonstration)
4) de continuer à savoir toutes les règles courantes, et parfois de réapprendre des règles utiles.

Cordialement.

[invite05ccbb13]

D'accord je comprends, mais je suis incertain sur un point :
Le fait que d'une part, et que d'autre part, permet-il de dire que ?

La règle à utiliser serait et alors .
Ce "et" marque la simultanéité. Comment faire le lien avec les deux assertions précédentes ( d'une part, et que d'autre part) ?

[gg0]

Au lieu de penser à une règle "locale", concernant des orthogonaux, pense à la règle globale, ensembliste.

Si et , que peux-tu dire de et ?

C'est cela que j'appelle vérifier qu'on applique une règle. En évitant que l'arbre cache la forêt. Au besoin en le démontrant à partir des définitions de et . Revois-les (*) pour comprendre ce que le "et" donne comme renseignement.

Cordialement.

(*) On ne peut pas décemment faire des mathématiques de ce niveau sans connaître bien les notions de base de calcul ensembliste (appartient, partie, intersection, réunion, ...) avec quelques méthodes de compréhension (diagrammes en patates, par exemple).

[invite05ccbb13]

C'est plus visible avec des ensembles, en dessinant des patates effectivement. Dessiner l'orthogonal de l'union de deux sous espaces vectoriel et réussir à visualiser que c'est l'intersection des orthogonaux des deux sous espaces vectoriels n'est pas simple pour moi. Un dessin aide beaucoup parfois.

Si et alors

Supposons et
Soit Comme on a Comme on a aussi
Donc et c'est à dire
Ceci étant valable pour tous tel que et On a bien

Donc la démonstration est juste. Je te remercie pour tes réponses rapides ainsi que tes conseils.

Cordialement.