Egalité de deux ensembles

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir comment l'on définit rigoureusement l'égalité de deux ensembles. Dans mon cours, il est admis d'avoir une vision intuitive de ce qu'est un ensemble, donc la question n'est pas vraiment abordée, il est simplement fait mention qu'un ensemble est déterminé par la donnée de ses éléments.

Finalement pourquoi peut-on dire que ?

Je pense que la double inclusion doit pouvoir être utilisée comme définition, mais dans mon cours elle est simplement mentionnée comme propriété (non-démontrée). Je pensais également que l'on pouvait utiliser les bijections pour définir l'égalité, mais le problème est que la notion d'application fait intervenir les relations, donc les couples et donc les ensembles...

Bref, comment définit-on rigoureusement l'égalité de deux ensembles ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Guillaume69]

Bonsoir,

Je pense que la double inclusion doit pouvoir être utilisée comme définition

La double inclusion ne m'a jamais été présentée comme une propriété, mais comme une la définition de l'égalité de deux ensembles.
Il y en a peut-être d'autres, mais comme il y a équivalence entre égalité et double inclusion, je ne vois pas pourquoi elle ne serait pas acceptable

[Seirios]

Je viens de trouver en théorie des ensembles l'axiome d'extensionnalité : , la réciproque étant déduite de l'axiome de réflexivité : et de , où est une formule (cette implication est-elle un axiome ? Je ne l'ai jamais rencontrée autrement).

On a donc finalement : , ce qui correspond à la double inclusion.

[Médiat]

Je viens de trouver en théorie des ensembles l'axiome d'extensionnalité :

c'est bien la définition de l'égalité de deux ensembles.

la réciproque étant déduite de l'axiome de réflexivité : et de , où est une formule (cette implication est-elle un axiome ? Je ne l'ai jamais rencontrée autrement).

Presque, c'est un schéma d'axiomes qui fait partie de la définition de l'égalité. En général on considère que la théorie des ensembles est une théorie égalitaire, c'est à dire est une théorie avec = dans son langage dont les axiomes sont ceux d'une relation d'équivalence plus le schéma d'axiomes que tu as cité, ce qui évite d'avoir à répéter ces axiomes à chaque théorie.

On a donc finalement : , ce qui correspond à la double inclusion.

Que l'on peut donc trouver aussi comme définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Merci pour ces précisions