Résolution matricielle d'une équation différentielle linéaire d'ordre 3

[HighM]

Bonjour à tous et à toutes,


Je poste ce sujet car je ne vois pas comment résoudre l'équation suivante : y⁽³⁾ - 2y'' - y' +2y = 24e^3t.


Nous avons utilisé en cours jusqu'à maintenant des méthodes matricielles pour résoudre des systèmes d'équations différentielles d'ordre 1, et nous parvenions à le résoudre grâce à une matrice que nous avions préalablement diagonalisé ou trigonalisé.

Seulement, je ne vois pas pour cette équation comment écrire mon système, j'ai eu l'idée de poser x₁(t) = y(t), x₂(t) = y'(t), x₃(t) = y''(t), seulement il me faut un système de trois équations, et si j'en rajoute une je passe à quatre.

Pareil, je ne vois pas comment trouver ma matrice A à diagonaliser, je suppose que ça doit être quand j'aurai écrit le système.



Si des personnes pouvaient me venir en aide ce serait sympa



Bonne soirée à tous !
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[gg0]

Bonjour.

Il faut encore une équation x4(t)=y(3)(t) et une matrice 4x4 va arriver.

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
On vous impose la méthode matricielle?
Parce que sinon une autre méthode (équivalente mais peut-être plus simple à utiliser) est de trouver directement les racines du polynôme caractéristique, ici :
X^3-2X^2-X+2, qui a des racines évidentes
Ce qui donne la solution générale de l'équation homogène.

Ensuite, une solution particulière va être trouvée soit par la méthode générale de variation de la "constante", soit très simplement en intuitant qu'une solution sera égale à kexp(3t) avec k à trouver

[HighM]

Merci pour vos réponses !

Pour répondre à ta question Resartus :

Oui la méthode matricielle est imposée, en général dans les exos on étudie une matrice que l'on diagonalise ou qu'on trigonalise si elle n'est pas diagonalisable, et on résout un système du type X' = AX ou la matrice A est la matrice diagonalisée.

On dit que A = P Delta P-1 et on résout le système Y' = delta Y où Y = P-1 X et Y' = P-1 X' (j'avais en effet également pensé à ta méthode mais vu que je vais avoir un partiel d'algèbre linéaire, je pense que si ce genre de calcul tombe c'est en fin d'exercice après avoir étudié une matrice etc

Ici gg0 je ne vois pas comment poser le système et quelle matrice A prendre en compte

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En fait, pas besoin de x4, tu avais déjà tout ce qu'il te faut, suffisait d'écrire !! Avec x₁(t) = y(t), x₂(t) = y'(t), x₃(t) = y''(t) :

Tu résous la partie matricielle du système (sans le 24 exp(3t)), puis tu rajoutes une solution particulière.

Cordialement.

[HighM]

Ah super merci ! je vais essayer de résoudra ça du coup !