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Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique




  1. #1
    Compol

    Question Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique

    Salut à tous, je me pose quelques questions depuis le début de l'année sur la méthode de résolution des équations différentielles en physique.
    En effet, considérons l'exemple du ressort avec masse qui oscille sans frottement sur un plan horizontal (cas le plus simple )
    L'équation différentielle régissant l'élongation x en fonction du temps est:
    x''+(k/m)*x=0

    Méthode "physique" de la résolution:
    La solution est de la forme : x(t)=Xm*cos(wo*t+phi)
    ou Xm élongation maximale, wo pulsation propre en rad.s-1, t en s et phi phase à l'origine en rad.

    Méthode "mathématique":
    L'équation caractéristique de cette équation est:
    r2+(k/m)=0
    D'ou delta=-4*(k/m) => sqrt(delta)=2*sqrt(k/m)*i (ou -2*sqrt(k/m)*i)
    Alors, on a comme solution:
    r1=i*sqrt(k/m) ou r2=-i*sqrt(k/m)
    Par conséquent:
    x(t)=ea*t(A*cos(b*t)+B*sin(b*t)) ou A et B constantes arbitraires.
    Comme a=0 et b=sqrt(k/m); alors:
    x(t)=A*cos(sqrt(k/m)*t)+B*sin(sqrt(k/m)*t)
    on pose wo=sqrt(k/m)

    Voila ma question: en utilisant les conditions initiales (vitesse et position pour t=0s) je sais que les 2 équtions vont aboutir au même résultat.
    Toutefois, je n'arrive pas à faire apparaître le "phi" dans ma méthode mathématique ... Quelqu'un aurait-il une idée pour revenir à la formule de physique(avec phi) à partir de celle trouvée mathématiquement (sans phi) ?

    Merci.

    -----

    Compol = Pol92joueur

  2. Publicité
  3. #2
    zanz

    Re : Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique

    elementaire mon cher Watson (Sherlock vient de sortir ptite reference ^^)...
    cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (le COsinus est un COnnard il melange pas)
    donc tu pose cos(phi)=A/Xm et -sin(phi)=B/Xm

  4. #3
    Compol

    Re : Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique

    Citation Envoyé par zanz Voir le message
    elementaire mon cher Watson (Sherlock vient de sortir ptite reference ^^)...
    cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (le COsinus est un COnnard il melange pas)
    donc tu pose cos(phi)=A/Xm et -sin(phi)=B/Xm
    Alors dans ce cas , TOUTES les équations différentielles du second ordre ont comme solution : x(t)=A*cos(wot+phi) ☺
    (ou x la fonction et t la variable)
    C'est bien cela ?
    EDIT : si delta<0 bien entendu
    Compol = Pol92joueur


  5. #4
    zanz

    Re : Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique

    je dirai seulement lorsque l'equation caracteristique est du type a.r²+c=0 cad qu'il n'y a pas de b.

  6. #5
    Compol

    Re : Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique

    Ah oui, pour avoir une partie réelle nulle, encore faut-il que que c et a soient de même signe, pour que delta soit négatif ...
    Compol = Pol92joueur

  7. A voir en vidéo sur Futura

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