Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique
Salut à tous, je me pose quelques questions depuis le début de l'année sur la méthode de résolution des équations différentielles en physique.
En effet, considérons l'exemple du ressort avec masse qui oscille sans frottement sur un plan horizontal (cas le plus simple)
L'équation différentielle régissant l'élongation x en fonction du temps est:
x''+(k/m)*x=0
Méthode "physique" de la résolution:
La solution est de la forme : x(t)=Xm*cos(wo*t+phi)
ou Xm élongation maximale, wo pulsation propre en rad.s-1, t en s et phi phase à l'origine en rad.
Méthode "mathématique":
L'équation caractéristique de cette équation est:
r2+(k/m)=0
D'ou delta=-4*(k/m) => sqrt(delta)=2*sqrt(k/m)*i (ou -2*sqrt(k/m)*i)
Alors, on a comme solution:
r1=i*sqrt(k/m) ou r2=-i*sqrt(k/m)
Par conséquent:
x(t)=ea*t(A*cos(b*t)+B*sin(b*t)) ou A et B constantes arbitraires.
Comme a=0 et b=sqrt(k/m); alors:
x(t)=A*cos(sqrt(k/m)*t)+B*sin(sqrt(k/m)*t)
on pose wo=sqrt(k/m)
Voila ma question: en utilisant les conditions initiales (vitesse et position pour t=0s) je sais que les 2 équtions vont aboutir au même résultat.
Toutefois, je n'arrive pas à faire apparaître le "phi" dans ma méthode mathématique ... Quelqu'un aurait-il une idée pour revenir à la formule de physique(avec phi) à partir de celle trouvée mathématiquement (sans phi) ?
Merci.
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Envoyé par zanz 