Rotation

[invite8b9cea3a]

Bonsoir,

est ce que la composée d une translation et d'une rotation est une rotation? et comment faire pour le démontrer?

merci a vous.
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[invitec17b0872]

Bonjour,

Considérez un point de l'axe Ox, imposez-lui une rotation de centre O et d'angle 90°, puis imposez à cette image une translation de vecteur j. Y a-t-il une relation de rotation entre le premier point et le dernier ?

[invite8b9cea3a]

Bonjour,

Considérez un point de l'axe Ox, imposez-lui une rotation de centre O et d'angle 90°, puis imposez à cette image une translation de vecteur j. Y a-t-il une relation de rotation entre le premier point et le dernier ?

c 'est sur qu il y a une relation mais laquelle? tu peux me donner une indication pour commencer?

[invitec17b0872]

Notons A le premier point, et B le dernier. Si B est l'image de A par une rotation de centre O, alors OB=OA en norme. Or ce n'est pas le cas.

Par contre à coup sur, il existe plusieurs rotations qui transforment A en B, mais pas de centre O. Donc pas si simple de déterminer cette rotation.
Par contre, on est souvent amené à décomposer les transformations (du plan il me semble) en compositions de rotations et homothéties, on parle de similitudes. Je vous laisse fouiller un peu le net à ce sujet

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On voit intuitivement que si on a un objet plan, qu'on le translate puis qu'on le fait tourner, sa forme n'aura pas changé, exactement comme si on l'avait fait tourner autour d'un autre point et du même angle.
On peut le montrer simplement par les nombres complexes en partant d'un point d'affixe z.
D'abord la translation : z devient z + t où t est l'affixe du vecteur translation.
Ensuite la rotation : (z+t) devient (z+t) exp(ia) en supposant qu'on tourne d'un angle a autour de l'origine.
La combinaison transforme donc z en z' = (z+t) exp(ia)
Si on prend un centre de rotation en C d'affixe c, alors la rotation d'angle a transforme le vecteur CM en CM' et (z' - c) = (z - c) exp(ia) qui est la formule de rotation du vecteur CM, avec le même angle.
Donc cette rotation seule transforme z en z'= z + c(1 - exp(ia))
On voit qu'on peut identifier les 2 formules et ça donne la position du centre de rotation C.
Il y a problème si l'angle a est nul : le centre de rotation est à l'infini (c'est une translation pure).

[invite5150dbce]

c'est exact Jeanpaul, tu as été plus rapide que moi mais bon, je te propose quand même quelquechose

Soit t la translation de vecteur v(b)
t : z |--> z+b
Soit r la rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ
r : z |-->ω+eiθ(z-ω)

Donc rot : z |--> z+b |-->ω+eiθ(z+b-ω)
Or z’-ω= eiθ(z+b-ω) <=> z’-ω+keiθ=eiθ(z+b-ω)+keiθ pour tout réel k
<=> z’-ω+keiθ=eiθ(z+b-ω+k) pour tout réel k
On suppose que tor est une rotation, on a alors b-ω+k=-ω+keiθ
<=> b=k(eiθ-1)
<=> k=b/(eiθ-1)
Or θ≠0 puisque r est une rotation donc eiθ≠1
Par conséquent z’-ω= eiθ(z+b-ω) <=> z’-ω+beiθ/(eiθ-1)=eiθ(z+b-ω+b/(eiθ-1))
<=> z’-ω+beiθ/(eiθ-1)=eiθ(z-ω+beiθ/(eiθ-1))
<=> z’-[ω-beiθ/(eiθ-1)]=eiθ(z-[ω-beiθ/(eiθ-1)])
rot est donc la rotation de centre Ω’ d’affixe ω-beiθ/(eiθ-1) et d’angle θ

J'ai traité le cas de la composée d'une translation suivie d'une rotation, on peut faire le cas inverse

[danyvio]

Bonsoir,

est ce que la composée d une translation et d'une rotation est une rotation? et comment faire pour le démontrer?

merci a vous.

La composée est ce qu'on appelle un mouvement hélicoïdal.

[invitec540ebb9]

La composée est ce qu'on appelle un mouvement hélicoïdal.

... une homotéthie en fait

[danyvio]

... une homotéthie en fait

Que nenni !

[invite5150dbce]

... une homotéthie en fait

Bien sur, toutez rotation est une homothétie. Plus génralement, tout transformation est une homothétie. Je te félicite, tu viens de faire une découverte fondamentale
Non en fait je pense que tu ne sais pas ce qu'est une homothétie