Résolution d'une équation différentielle du second ordre

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué dans une étude de physique par une équation différentielle du second ordre que je ne sais pas résoudre ; elle est du type :



Quelqu'un s'aurait-il comment résoudre ce genre d'équation ?

Merci d'avance
Phys2
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[FonKy-]

dans un premier temps , elle est pas linéaire, et en principe tu commence a sortir les mouchoirs
mais je vais chercher

[inviteaf1870ed]

L'astuce consiste dans ces équations où il n'y a ni x ni y' à tout multiplier par y'

y'y"+ay'/y²=by'

On intègre

y'²-2a/y=2by+K

Cela devient une équation du premier ordre à variables séparables.

[FonKy-]

soit (2by+k+2a/y)^1/2.dy=dx

et là il est content

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

soit (2by+k+2a/y)^1/2.dy=dx

On aurait pas plutôt ? Parce qu'on a , non ?

[inviteaf1870ed]

Ca me parait mieux

Par contre le résultat de l'intégration est affreux...Aucun espoir d'avoir une formule pour y(x)

[FonKy-]

oui c ce que je voulais faire comprendre, oui il fallait lire ^-1/2 désolé..

quand je disais qu'il était content c'était car je trouvais ca impossible ><

[Seirios]

Par contre le résultat de l'intégration est affreux...Aucun espoir d'avoir une formule pour y(x)

Oui, j'ai essayé de résoudre mon problème par cette méthode, et lorsque j'ai calculé l'intégrale par un logiciel de calcul formel (puisque je n'y arrivais bien évidemment pas ), le résultat n'était pas vraiment exploitable...En tout, une astuce à retenir pour d'autres cas !

Sinon, quelqu'un aurait une idée sur une autre méthode ? Eventuellement, on pourrait simplifier l'équation par .

[inviteaf1870ed]

Ca te donnera une fonction de y plus simple, mais toujours impossible à inverser.

Mais tu auras une paramétrisation des solutions en posant x=t et y=f(t)

[Seirios]

Mais tu auras une paramétrisation des solutions en posant x=t et y=f(t)

La paramétrisation n'est malheureusement pas possible (enfin il me semble), parce que dans l'équation que j'essaie de résoudre, f dépend de x et de y, et la dérivation se ferait sur le temps t. De manière détaillée, j'aurais en réalité , mais je préfèrerais déterminer l'expression de f, telle que .