Rayon de convergence série entière
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 21 sur 21

Rayon de convergence série entière



  1. #1
    yanisoupas

    Rayon de convergence série entière


    ------

    Bonjour, quelqu'un pourrait il me guider pour trouver le rayon de cette série entière. Je sais que il faut que le terme générale doit être de la forme an*z^n mais c'est quoi le changement de variable pour arriver à une variable puissance n ?

    -----
    Images attachées Images attachées  

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonjour.

    Tu aurais pu rectifier ta photo pour que ce soit facilement lisible, ou mieux, écrire en LaTeX.

    Ta série est une série lacunaire : seuls certains coefficients des puissances sont non nuls. Elle se développe ainsi :



    Comme c'est une série positive, il est facile de la majorer par une série classique et de conclure sur sa convergence.

    Bon travail !
    Dernière modification par gg0 ; 06/01/2019 à 20h11.

  3. #3
    Resartus

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonsoir,
    A cause de la rotation, tu as mal lu, gg0 : l'exposant de x est n²... C'est la série 1+ x + x^4/2! + x^9/3!+ x^16/4! +…

    Ceci dit, on peut facilement conclure avec la règle de d'Alembert… (faire le rapport de deux termes consécutifs)
    Dernière modification par Resartus ; 06/01/2019 à 23h15.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #4
    yanisoupas

    Re : Rayon de convergence série entière

    Merci à vous et excusez moi pour la photo , je tâcherai d'écrire en latex la prochaine fois et effectivement c'est simplement avec d'Alembert.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    J'ai bien lu le n² mais fait ensuite une erreur au dénominateur. Désolé !




    Cordialement.

  7. #6
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonsoir, j'ai repris le problème mais quand j'ai essayé d'appliquer la règle d'Alembert, j'ai pas bien compris. La règle dit que Un+1/Un --->L
    pour n tend vers l'infinie et on discute de la convergence suivant L mais quand j'ai fait le rapport des deux suite je n'ai pas réussis à trouver la limite finie. Si n tend vers l'infinie, comment on est cencé faire car on a x qui peut être positif ou négatif?..

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonjour.

    Que trouves-tu pour
    ?

    Cordialement.

  9. #8
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonjour, j'ai trouvé
    frac{x^\left(\left(n+1\right*\ left(n+1\right)\right}{\left(n +1\right*x^\left(n*n\right}
    en posant
    Un= \left(\frac{\left(x^\left(n+1\ right)^2}{n!}\right
    merci
    Dernière modification par gavroch ; 09/11/2020 à 10h28.

  10. #9
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    J'ai trouvé comme résultat de la fraction


    puissance (n+1)(n+1)
    x
    _______________

    puissance n*n
    (n+1)*x
    Dernière modification par gavroch ; 09/11/2020 à 10h34.

  11. #10
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    J'ai trouvé comme résultat de la fraction


    puissance (n+1)(n+1)
    x
    _______________ c'est à dire x puissance (n+1)*(n+1); le tout divisé par (n+1)*x puissance n*n

    puissance n*n
    (n+1)*x

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonjour.

    Avec la balise TEX et la bonne syntaxe (des { pour que tout soit pris en compte) :

    (j'ai simplement écrit \frac{ x^{(n+1)(n+1)} }{(n+1)x^{n*n})
    Je n'ai pas compris pourquoi (n+1)² est développé en (n+1)(n+1), tu n'en fais rien.
    La simplification n'est pas finie, et il faut continuer à appliquer le critère de d'Alembert.

  13. #12
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonsoir j'ai finalement comme résultat en posant 2n+1=k soit n= (k-1)/2. Mais, je voit pas comment trouvé la limite de ça car il y a toujours le x.
    J'ai trouvé ce résultat en faisant un changement de variable dans le résultat de la simplification de la faction qui est pour moi .

  14. #13
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Rayon de convergence série entière

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Avec la balise TEX et la bonne syntaxe (des { pour que tout soit pris en compte) :
    Merci gg0, j'ai essayé de corriger le message #8, mais il est truffé de \left( et \right sans ) qui ont eu raison de mes nerfs ce matin .
    Gavroch, n'hésitez pas à contacter un modérateur pour demander des modifications sur vos messages quand vous voyez des erreurs.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonjour Gavroch.

    Exercice : Calculer, suivant les valeurs de x>0,

    Exercice classique de calcul de limites, qu'on voit généralement bien avant de traiter des séries entières. regarder les limites du numérateur donne déjà une partie de la solution, puis des règles classiques sur le traitement des formes indéterminées permettent de traiter les cas restants.

    Bon travail personnel !

  16. #15
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Albanxiii,

    le message #8 est effectivement impossible à rectifier. Je me suis servi du #10, et de ses deux écritures.

    Cordialement.

  17. #16
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    merci beaucoup

  18. #17
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    Pour tout x dans [0;1]:
    on a converge vers 0 si on a x dans [0;1[
    1 si on x=1
    Pour tout x>1:
    on a divergence vers
    Pour x dans ]-1;0[:
    on a convergence vers 0
    Pour tout x <-1:
    on a pas de limite
    Si x =-1:
    on a pas de limite
    donc la limite est 0 si x dans ]-1;1[ et vaut 1 pour x=1
    donc ne converge pas simplement sur R. En
    revanche, ça converge simplement sur l’intervalle I =] − 1, 1] et admet
    comme limite (simple) l’application f définie par
    ---> 0 si x différent de 1
    ---> 1 si x =1

    Or on cherche la limite d'une fraction donc on va procéder par produit des limites avec lim CODE]\frac{ 1}{n+1}[/CODE] =0 pour n vers
    Code:
    \infty
    .


    Donc dans I; a une limite qui vaut 0 si x=1...
    a une limite de la forme indéterminée "0/0" si x différent de 1

  19. #18
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    Pour tout x dans [0;1]:
    on a converge vers 0 si on a x dans [0;1[
    1 si on x=1
    Pour tout x>1:
    on a divergence vers
    Pour x dans ]-1;0[:
    on a convergence vers 0
    Pour tout x <-1:
    on a pas de limite
    Si x =-1:
    on a pas de limite
    donc la limite est 0 si x dans ]-1;1[ et vaut 1 pour x=1
    donc ne converge pas simplement sur R. En
    revanche, ça converge simplement sur l’intervalle I =] − 1, 1] et admet
    comme limite (simple) l’application f définie par
    ---> 0 si x différent de 1
    ---> 1 si x =1

    Or on cherche la limite d'une fraction donc on va procéder par produit des limites avec lim =0 pour n vers .


    Donc dans I; a une limite qui vaut 0 si x=1...
    a une limite de la forme indéterminée "0/0" si x différent de 1

  20. #19
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Bonjour.

    J'avais noté "pour x>0"; car dans l'application aux séries entières du critère de D'Alembert, on peut se contenter de x>0 ou de x<0, suivant les cas.

    Une erreur grossière : Pour x<1, la limite n'est pas indéterminée. Reste le cas x>1 à examiner de plus près. Par exemple en passant aux logarithmes.

  21. #20
    gavroch

    Re : Rayon de convergence série entière

    Merci beaucoup

  22. #21
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Rayon de convergence série entière

    Il n'est jamais trop tard pour bien faire

Discussions similaires

  1. Domaine de convergence et rayon de convergence d'une série entiére
    Par nabs16 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 03/01/2014, 10h56
  2. Rayon de convergence de la série entière
    Par invite70d509fb dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 04/05/2012, 10h31
  3. Rayon de convergence d une serie entiere
    Par invite344facfd dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 22/10/2008, 16h38
  4. Rayon de convergence d'une série entière
    Par invite1237a629 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 13/01/2008, 12h49
  5. rayon de convergence (série entière)
    Par invite7fc34639 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 11/08/2004, 16h16