Rayon de convergence série entière

[invited8e20702]

Bonjour, quelqu'un pourrait il me guider pour trouver le rayon de cette série entière. Je sais que il faut que le terme générale doit être de la forme an*z^n mais c'est quoi le changement de variable pour arriver à une variable puissance n ?
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[gg0]

Bonjour.

Tu aurais pu rectifier ta photo pour que ce soit facilement lisible, ou mieux, écrire en LaTeX.

Ta série est une série lacunaire : seuls certains coefficients des puissances sont non nuls. Elle se développe ainsi :



Comme c'est une série positive, il est facile de la majorer par une série classique et de conclure sur sa convergence.

Bon travail !

[Resartus]

Bonsoir,
A cause de la rotation, tu as mal lu, gg0 : l'exposant de x est n²... C'est la série 1+ x + x^4/2! + x^9/3!+ x^16/4! +…

Ceci dit, on peut facilement conclure avec la règle de d'Alembert… (faire le rapport de deux termes consécutifs)

[invited8e20702]

Merci à vous et excusez moi pour la photo , je tâcherai d'écrire en latex la prochaine fois et effectivement c'est simplement avec d'Alembert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

J'ai bien lu le n² mais fait ensuite une erreur au dénominateur. Désolé !




Cordialement.

[gavroch]

Bonsoir, j'ai repris le problème mais quand j'ai essayé d'appliquer la règle d'Alembert, j'ai pas bien compris. La règle dit que Un+1/Un --->L
pour n tend vers l'infinie et on discute de la convergence suivant L mais quand j'ai fait le rapport des deux suite je n'ai pas réussis à trouver la limite finie. Si n tend vers l'infinie, comment on est cencé faire car on a x qui peut être positif ou négatif?..

[gg0]

Bonjour.

Que trouves-tu pour
?

Cordialement.

[gavroch]

Bonjour, j'ai trouvé

frac{x^\left(\left(n+1\right*\ left(n+1\right)\right}{\left(n +1\right*x^\left(n*n\right}

en posant

Un= \left(\frac{\left(x^\left(n+1\ right)^2}{n!}\right

merci

[gavroch]

J'ai trouvé comme résultat de la fraction


puissance (n+1)(n+1)
x
_______________

puissance n*n
(n+1)*x

[gavroch]

J'ai trouvé comme résultat de la fraction


puissance (n+1)(n+1)
x
_______________ c'est à dire x puissance (n+1)*(n+1); le tout divisé par (n+1)*x puissance n*n

puissance n*n
(n+1)*x

[gg0]

Bonjour.

Avec la balise TEX et la bonne syntaxe (des { pour que tout soit pris en compte) :

(j'ai simplement écrit \frac{ x^{(n+1)(n+1)} }{(n+1)x^{n*n})
Je n'ai pas compris pourquoi (n+1)² est développé en (n+1)(n+1), tu n'en fais rien.
La simplification n'est pas finie, et il faut continuer à appliquer le critère de d'Alembert.

[gavroch]

Bonsoir j'ai finalement comme résultat en posant 2n+1=k soit n= (k-1)/2. Mais, je voit pas comment trouvé la limite de ça car il y a toujours le x.
J'ai trouvé ce résultat en faisant un changement de variable dans le résultat de la simplification de la faction qui est pour moi .

[albanxiii]

Avec la balise TEX et la bonne syntaxe (des { pour que tout soit pris en compte) :

Merci gg0, j'ai essayé de corriger le message #8, mais il est truffé de \left( et \right sans ) qui ont eu raison de mes nerfs ce matin .
Gavroch, n'hésitez pas à contacter un modérateur pour demander des modifications sur vos messages quand vous voyez des erreurs.

[gg0]

Bonjour Gavroch.

Exercice : Calculer, suivant les valeurs de x>0,

Exercice classique de calcul de limites, qu'on voit généralement bien avant de traiter des séries entières. regarder les limites du numérateur donne déjà une partie de la solution, puis des règles classiques sur le traitement des formes indéterminées permettent de traiter les cas restants.

Bon travail personnel !

[gg0]

Albanxiii,

le message #8 est effectivement impossible à rectifier. Je me suis servi du #10, et de ses deux écritures.

Cordialement.

[gavroch]

merci beaucoup

[gavroch]

Pour tout x dans [0;1]:
on a converge vers 0 si on a x dans [0;1[
1 si on x=1
Pour tout x>1:
on a divergence vers
Pour x dans ]-1;0[:
on a convergence vers 0
Pour tout x <-1:
on a pas de limite
Si x =-1:
on a pas de limite
donc la limite est 0 si x dans ]-1;1[ et vaut 1 pour x=1
donc ne converge pas simplement sur R. En
revanche, ça converge simplement sur l’intervalle I =] − 1, 1] et admet
comme limite (simple) l’application f définie par
---> 0 si x différent de 1
---> 1 si x =1

Or on cherche la limite d'une fraction donc on va procéder par produit des limites avec lim CODE]\frac{ 1}{n+1}[/CODE] =0 pour n vers

\infty

.


Donc dans I; a une limite qui vaut 0 si x=1...
a une limite de la forme indéterminée "0/0" si x différent de 1

[gavroch]

Pour tout x dans [0;1]:
on a converge vers 0 si on a x dans [0;1[
1 si on x=1
Pour tout x>1:
on a divergence vers
Pour x dans ]-1;0[:
on a convergence vers 0
Pour tout x <-1:
on a pas de limite
Si x =-1:
on a pas de limite
donc la limite est 0 si x dans ]-1;1[ et vaut 1 pour x=1
donc ne converge pas simplement sur R. En
revanche, ça converge simplement sur l’intervalle I =] − 1, 1] et admet
comme limite (simple) l’application f définie par
---> 0 si x différent de 1
---> 1 si x =1

Or on cherche la limite d'une fraction donc on va procéder par produit des limites avec lim =0 pour n vers .


Donc dans I; a une limite qui vaut 0 si x=1...
a une limite de la forme indéterminée "0/0" si x différent de 1

[gg0]

Bonjour.

J'avais noté "pour x>0"; car dans l'application aux séries entières du critère de D'Alembert, on peut se contenter de x>0 ou de x<0, suivant les cas.

Une erreur grossière : Pour x<1, la limite n'est pas indéterminée. Reste le cas x>1 à examiner de plus près. Par exemple en passant aux logarithmes.

[gavroch]

Merci beaucoup

[gg0]

Il n'est jamais trop tard pour bien faire