Rayon de convergence d'une série entière

[invite1237a629]

Plop,

Bon, je connais le calcul du rayon de convergence en utilisant le critère de d'Alembert (limite quand n tend vers l'infini de an+1/an = L et R=1/L).

Mais je suis tombée sur un exercice pour le moins...bizarre
Y aurait-il utilisation possible du critère de Cauchy ? (je crois que c'est le nom)



Et dans la correction, ils disent que les an sont positifs (ok), puis qu'ils étudient pour montrer que ça tend vers 1 quand n tend vers l'infini (en prenant le log, on tombe dessus)

Et paf, ils concluent directement avec " le rayon de convergence de la série est donc 1 ", puis que la série diverge quand |z|=1

Donc euh...je n'ai rien compris

Merci pour vos futures explications,
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[Romain-des-Bois]

Salut !

Mode Pub : On
Sur mon site (cf mon profil) tu peux trouver dans la rubrique Maths->Cours un cours complet sur les séries (y a pas de chapitre sur les séries entières mais il y a l'explication du critère de Cauchy, comment on l'utilise...).
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Romain

[invite1237a629]

Oki, j'ai lu =) (petite aparté : peut se révéler intéressant comme site )

Que signifie lim avec une barre au-dessus ?

Et le truc, c'est que d'accord, je comprends que pour la règle de Cauchy, ça diverge si |z|=1 (ou même > 1), mais pour le critère de d'Alembert, je n'avais pas souvenir qu'il importait de dire que |z| soit = ou > ou < à 1 ??

Le problème est que je n'avais jamais entendu parler du critère de Cauchy (enfin le fait de prendre la racine n-ième) appliqué à des séries entières (et quant à google...j'ai peut-être mal cherché, mais n'ai rien trouvé).

[God's Breath]

Que signifie lim avec une barre au-dessus ?

C'est la limite supérieure de la suite, c'est-à-dire sa plus grande valeur d'adhérence. Contrairement à la limite, cette limite supérieure existe toujours.

Et le truc, c'est que d'accord, je comprends que pour la règle de Cauchy, ça diverge si |z|=1 (ou même > 1), mais pour le critère de d'Alembert, je n'avais pas souvenir qu'il importait de dire que |z| soit = ou > ou < à 1 ??

Le problème est que je n'avais jamais entendu parler du critère de Cauchy (enfin le fait de prendre la racine n-ième) appliqué à des séries entières (et quant à google...j'ai peut-être mal cherché, mais n'ai rien trouvé).

La règle de Cauchy , c'est : si , alors le rayon de la série entière est .
Il ne fonctionne que si cette limite existe.

Si l'on remplace par , le résultat est encore valable, fonctionne pour toutes les séries entières, c'est la règle de Hadamard, pas souvent pratique d'utilisation.

Enfin la seule règle de Cauchy fournit le rayon de convergence, mais la comportement de la série entière sur le cercle d'incertitude,.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ok, merci beaucoup

De là, si R=1, pour tout |z|<R, ça converge absolument, mais il faut étudier le cas où |z|=R, n'est-ce pas ?

Ah, c'est "pas le comportement de la série sur le cercle"

En ce cas, je pense avoir compris =)
Encore merci à vous deux !