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somme d'une série entiére



  1. #1
    nabbla

    somme d'une série entiére


    ------

    Bonjour à tous,

    voila je dois calculer la somme d'une série entiére, soit la série entiére :
    Somme ( (n/(n+1))xn ).

    le rayon de convergence de cette série et R=1.

    Ensuite je doit calculer la somme de cette série.
    Bon j'ai trouvé un résultat et je demande confirmation de celui ci.

    donc voilà comment j'ai procédé,
    Soit S(x)=Somme ( (n/(n+1))xn,n,0,+inf)
    j'écris ensuite S(x) = 1/x(Somme ( (n/(n+1))xn+1,n,0,+inf))
    (j'ai mis 1/x en facteur)
    Ensuite je dérive (Somme ( (n/(n+1))xn+1,n,0,+inf)) = S1

    Donc (S1)' = (Somme ( n*xn,n,0,+inf))
    je trouve (S1)'= 1/(1+x)²-1/(1-x)

    en intégrant 1/(1+x)²-1/(1-x), je trouve :

    -1/(x+1)+1-ln(1-x) et donc au final S(x) = 1/x[-1/(x+1)+1-ln(1-x) ]

    voilà je demande une confirmation du résultat, et dans le cas ou il est faux où sont mes erreurs,(et je tiens à m'excusé pour les notations assez lourde que j'ai utilisé, mais je ne suis pas familiarisé avec le tex) merci à tous.

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  4. #2
    space-kro

    Re : somme d'une série entiére

    je suis pas très sur que ce que tu as trouve est juste parce que je trouve quelque chose de différent avec une autre methode.

    en effet si on ecrit :

    n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)

    on se retouve avec une serie geometrique et a 1/x près la serie du ln.

    je trouve le resulat

    1/(1-x) + 1/x * ln(1-x)

    je pense que ton erreur est dans le calcul de (S1)'

  5. #3
    maxevans

    Re : somme d'une série entiére

    quand tu derive S1 je pense que tu ne derive pas le terme en 1/x que tu as sorti

  6. #4
    Colas

    Re : somme d'une série entiére

    Citation Envoyé par nabbla
    Ensuite je dérive (Somme ( (n/(n+1))xn+1,n,0,+inf)) = S1

    Donc (S1)' = (Somme ( n*xn,n,0,+inf))
    A ta place, je prendrais une primitive de S1 pour pouvoir virer le n du numérateur, les calculs ont l'air plus simples comme ça. Mais la méthode de space-kro est plus rapide et ne nécessite aucun calcul de dérivées !

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  8. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : somme d'une série entiére

    Citation Envoyé par nabbla
    Donc (S1)' = (Somme ( n*xn,n,0,+inf))
    je trouve (S1)'= 1/(1+x)²-1/(1-x)

    J´aimerais savoir selon quelle régle tu passes de la somme à 1/(1+x)²-1/(1-x).

  9. #6
    angetato

    Re : somme d'une série entiére

    moi aussi apres calcul je trouve s= 1/(1-x) + (1/x).ln(1-x)

    mais jai un soucis dans certain calcul de somme que j'ai rencontré par exemple ( calcul de la somme de la serie de terme general (x^n+1)/(n+1) on trouve s(x) = ln(1-x) au lieu de s(x) = -ln(1-x))
    je ne sait pas pourkoi on a pas mit le signe moins de l'integration!!!

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