somme d'une série entiére

[invite7fc34639]

Bonjour à tous,

voila je dois calculer la somme d'une série entiére, soit la série entiére :
Somme ( (n/(n+1))xⁿ ).

le rayon de convergence de cette série et R=1.

Ensuite je doit calculer la somme de cette série.
Bon j'ai trouvé un résultat et je demande confirmation de celui ci.

donc voilà comment j'ai procédé,
Soit S(x)=Somme ( (n/(n+1))xⁿ,n,0,+inf)
j'écris ensuite S(x) = 1/x(Somme ( (n/(n+1))xⁿ⁺¹,n,0,+inf))
(j'ai mis 1/x en facteur)
Ensuite je dérive (Somme ( (n/(n+1))xⁿ⁺¹,n,0,+inf)) = S1

Donc (S1)' = (Somme ( n*xⁿ,n,0,+inf))
je trouve (S1)'= 1/(1+x)²-1/(1-x)

en intégrant 1/(1+x)²-1/(1-x), je trouve :

-1/(x+1)+1-ln(1-x) et donc au final S(x) = 1/x[-1/(x+1)+1-ln(1-x) ]

voilà je demande une confirmation du résultat, et dans le cas ou il est faux où sont mes erreurs,(et je tiens à m'excusé pour les notations assez lourde que j'ai utilisé, mais je ne suis pas familiarisé avec le tex) merci à tous.
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[invitec5b86fa9]

je suis pas très sur que ce que tu as trouve est juste parce que je trouve quelque chose de différent avec une autre methode.

en effet si on ecrit :

n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)

on se retouve avec une serie geometrique et a 1/x près la serie du ln.

je trouve le resulat

1/(1-x) + 1/x * ln(1-x)

je pense que ton erreur est dans le calcul de (S1)'

[invite58081e51]

quand tu derive S1 je pense que tu ne derive pas le terme en 1/x que tu as sorti

[invite9b7da66e]

Ensuite je dérive (Somme ( (n/(n+1))xⁿ⁺¹,n,0,+inf)) = S1

Donc (S1)' = (Somme ( n*xⁿ,n,0,+inf))

A ta place, je prendrais une primitive de S1 pour pouvoir virer le n du numérateur, les calculs ont l'air plus simples comme ça. Mais la méthode de space-kro est plus rapide et ne nécessite aucun calcul de dérivées !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Donc (S1)' = (Somme ( n*xⁿ,n,0,+inf))
je trouve (S1)'= 1/(1+x)²-1/(1-x)

J´aimerais savoir selon quelle régle tu passes de la somme à 1/(1+x)²-1/(1-x).

[invite04239ddc]

moi aussi apres calcul je trouve s= 1/(1-x) + (1/x).ln(1-x)

mais jai un soucis dans certain calcul de somme que j'ai rencontré par exemple ( calcul de la somme de la serie de terme general (x^n+1)/(n+1) on trouve s(x) = ln(1-x) au lieu de s(x) = -ln(1-x))
je ne sait pas pourkoi on a pas mit le signe moins de l'integration!!!