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Somme d'une serie entiere hors du DOC



  1. #1
    Gpadide

    Somme d'une serie entiere hors du DOC


    ------

    Bonjour, je voudrais montrer que la somme de :
    (-1)^k / (2k+1) vaut pi/4.
    Pour ca j'ai remarqué que c'etait le Devpt en série entiere de Arctangente en 1 .
    Mais ce n'est valable que sur ]-1,1[ : Comment passer de l'un a l'autre ?
    Merci.

    -----

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  4. #2
    GuYem

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Salut

    Il y a un théorème (du genre taubérien) qui dit que
    - si le rayon de convergence de est 1
    - si la fonction définie par cette série à une limite quand z tend vers 1 par valeur inférieure
    - si

    alors converge et vaut cette limite.

    Ca marche dans ton cas, mais j'ai peur que ce soit un peu bourrin. Une étude peut-être plus simple montre le résultat.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #3
    GuYem

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    En fait après reflexion, il n'y a surement pas besoin d'utiliser le marteau pilon taubérien puisque tu dois facilement arriver à démontrer que :
    - si la série converge (c'est le cas ici, série alterné gentille)
    - si la fonction a une limite en 1 (c'est le cas ici aussi)

    alors cette limite et la somme de la série ne font qu'un.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #4
    prgasp77

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Mais ce n'est valable que sur ]-1,1[ : Comment passer de l'un a l'autre ?
    Merci.
    Et alors ? Ta somme partielle de rang n est inférieure à 1 pour tout n > 0 ...
    --Yankel Scialom

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  8. #5
    Gpadide

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Et alors ? Ta somme partielle de rang n est inférieure à 1 pour tout n > 0 ...
    Je parlais du réel de la série entiere...

  9. #6
    Gpadide

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    En fait après reflexion, il n'y a surement pas besoin d'utiliser le marteau pilon taubérien puisque tu dois facilement arriver à démontrer que :
    - si la série converge (c'est le cas ici, série alterné gentille)
    - si la fonction a une limite en 1 (c'est le cas ici aussi)

    alors cette limite et la somme de la série ne font qu'un.
    En fait c'est ce que je voudrais justifier mais je n'y arrive pas avec des arguments rigoureux...

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  11. #7
    Taar

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Salut !

    Ici c'est pas bien compliqué, car elle est vraiment très très gentille notre série...

    La somme d'un terme d'indice pair et du terme suivant (à z=1) est en 1/k2. Et pour 0<z<1 elle est plus petite.

    Taar

  12. #8
    Gpadide

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Salut !

    Ici c'est pas bien compliqué, car elle est vraiment très très gentille notre série...

    La somme d'un terme d'indice pair et du terme suivant (à z=1) est en 1/k2. Et pour 0<z<1 elle est plus petite.

    Taar
    Ma question c'est pourquoi la somme et la fonction arctan coincident en 1 ?

  13. #9
    Taar

    Re : Somme d'une serie entiere hors du DOC

    Ben pour les raisons que je viens de te donner !

    Note fk(x) la somme du terme d'indice 2k et du terme d'indice 2k+1 :



    Alors pour on démontre aisément (étudier fk) que



    Il y a donc convergence normale sur [0;1] de la série des

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