Somme d'une serie entiere hors du DOC

[Gpadide]

Bonjour, je voudrais montrer que la somme de :
(-1)^k / (2k+1) vaut pi/4.
Pour ca j'ai remarqué que c'etait le Devpt en série entiere de Arctangente en 1 .
Mais ce n'est valable que sur ]-1,1[ : Comment passer de l'un a l'autre ?
Merci.
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[GuYem]

Salut

Il y a un théorème (du genre taubérien) qui dit que
- si le rayon de convergence de est 1
- si la fonction définie par cette série à une limite quand z tend vers 1 par valeur inférieure
- si

alors converge et vaut cette limite.

Ca marche dans ton cas, mais j'ai peur que ce soit un peu bourrin. Une étude peut-être plus simple montre le résultat.

[GuYem]

En fait après reflexion, il n'y a surement pas besoin d'utiliser le marteau pilon taubérien puisque tu dois facilement arriver à démontrer que :
- si la série converge (c'est le cas ici, série alterné gentille)
- si la fonction a une limite en 1 (c'est le cas ici aussi)

alors cette limite et la somme de la série ne font qu'un.

[prgasp77]

Mais ce n'est valable que sur ]-1,1[ : Comment passer de l'un a l'autre ?
Merci.

Et alors ? Ta somme partielle de rang n est inférieure à 1 pour tout n > 0 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Et alors ? Ta somme partielle de rang n est inférieure à 1 pour tout n > 0 ...

Je parlais du réel de la série entiere...

[Gpadide]

En fait après reflexion, il n'y a surement pas besoin d'utiliser le marteau pilon taubérien puisque tu dois facilement arriver à démontrer que :
- si la série converge (c'est le cas ici, série alterné gentille)
- si la fonction a une limite en 1 (c'est le cas ici aussi)

alors cette limite et la somme de la série ne font qu'un.

En fait c'est ce que je voudrais justifier mais je n'y arrive pas avec des arguments rigoureux...

[invite9cf21bce]

Salut !

Ici c'est pas bien compliqué, car elle est vraiment très très gentille notre série...

La somme d'un terme d'indice pair et du terme suivant (à z=1) est en 1/k². Et pour 0<z<1 elle est plus petite.

Taar

[Gpadide]

Salut !

Ici c'est pas bien compliqué, car elle est vraiment très très gentille notre série...

La somme d'un terme d'indice pair et du terme suivant (à z=1) est en 1/k². Et pour 0<z<1 elle est plus petite.

Taar

Ma question c'est pourquoi la somme et la fonction arctan coincident en 1 ?

[invite9cf21bce]

Ben pour les raisons que je viens de te donner !

Note f_k(x) la somme du terme d'indice 2k et du terme d'indice 2k+1 :



Alors pour on démontre aisément (étudier f_k) que



Il y a donc convergence normale sur [0;1] de la série des