Exercice d'intégrabilité au sens de Riemann

[stevyk]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé l'exercice suivant dans un livre, et je ne parviens pas à le résoudre. Si vous avez des pistes ou des commentaires pour m'aider, j'aprrécierai vraiment !

Soit des fonctions Riemann-intégrables sur à valeurs réelles.
Si est monotone coordonnée par coordonnée, alors est intégrable au sens de Riemann sur à valeurs réelles.



Clairement, si , il s'agit de trouver pour tout deux fonctions en escaliers sur notées telles que et .


Je souhaite restreindre l'étude au cas où est croissante coordonnées par coordonnées dans un premier temps, pour voir ce que l'on peut obtenir.


Soit fixé.
Les fonctions étant intégrables sur à valeurs réelles, il existe des fonctions en escalier et de sorte que :
et où dans la dernière inégalité peut être remplacé par une combinaison de valeurs ne dépendant éventuellement que de et des fonctions .

Posons et , on a alors par croissance coordonnée par coordonnée .
Le problème est que je n'arrive pas à obtenir l'inégalité notamment parce que je ne parviens pas à donner de majoration satisfaisante de .


Quelqu'un aurait une idée à me proposer ?


Merci d'avance !
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[stevyk]

Allo ...

Personne n'aurait une piste ?

Je suis en train d'essayer de majorer les en fonction des , je pense qu'on peut aboutir petit à petit après, mais là aussi je bloque ..!