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Exercice d'intégrabilité au sens de Riemann




  1. #1
    stevyk

    Lightbulb Exercice d'intégrabilité au sens de Riemann

    Bonjour à tous,

    J'ai trouvé l'exercice suivant dans un livre, et je ne parviens pas à le résoudre. Si vous avez des pistes ou des commentaires pour m'aider, j'aprrécierai vraiment !

    Soit des fonctions Riemann-intégrables sur à valeurs réelles.
    Si est monotone coordonnée par coordonnée, alors est intégrable au sens de Riemann sur à valeurs réelles.



    Clairement, si , il s'agit de trouver pour tout deux fonctions en escaliers sur notées telles que et .


    Je souhaite restreindre l'étude au cas où est croissante coordonnées par coordonnées dans un premier temps, pour voir ce que l'on peut obtenir.


    Soit fixé.
    Les fonctions étant intégrables sur à valeurs réelles, il existe des fonctions en escalier et de sorte que :
    et où dans la dernière inégalité peut être remplacé par une combinaison de valeurs ne dépendant éventuellement que de et des fonctions .

    Posons et , on a alors par croissance coordonnée par coordonnée .
    Le problème est que je n'arrive pas à obtenir l'inégalité notamment parce que je ne parviens pas à donner de majoration satisfaisante de .


    Quelqu'un aurait une idée à me proposer ?


    Merci d'avance !

    -----


  2. #2
    stevyk

    Re : Exercice d'intégrabilité au sens de Riemann

    Allo ...

    Personne n'aurait une piste ?

    Je suis en train d'essayer de majorer les en fonction des , je pense qu'on peut aboutir petit à petit après, mais là aussi je bloque ..!

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