Question sur l'intégrabilité d'une fonction au sens de Lebesgue

[Housto229]

Salut,

J'ai un exercice dont je connais la réponse, cependant je n'arrive pas à comprendre pourquoi.

Voici la question :

la fonction f(x) est-elle L² intégrale (au sens de Lebesgue) sur l'intervalle [0,∞]. Apparemment la réponse serait non, je ne sais pas trop pourquoi.

J'ai ma fonction :



Je regarde donc si l'intégrale suivante converge :


Pour x proche de 0 on a :

et ceci converge

Pour x -> ∞ :

J'imagine que l'intégrale diverge mais je n'arrive pas à trouver pourquoi ? Il faudrait que je minore ce qui se trouve dans l'intégrale par une fonction divergente, mais laquelle ?

Si quelqu'un a une idée, merci
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[albanxiii]

Bonjour,

Pour x proche de 0 on a :

et ceci converge

Non ! Mais quelle horreur !
L'intégrale de départ converge bien en zéro, mais votre démostration archi fausse.

Pour x -> ∞ :

J'imagine que l'intégrale diverge mais je n'arrive pas à trouver pourquoi ? Il faudrait que je minore ce qui se trouve dans l'intégrale par une fonction divergente, mais laquelle ?

Encore planté, ça converge. Une majoration simple le montre en une ligne.

@+

[Housto229]

Pour la première partie quand x proche de 0 j'ai voulu dire que :



Du coup c'est l'intégrale que je viens d'écrire au dessus qui diverge ?

[invite76543456789]

Salut,
Oui, ta fonction n'est pas dans L² (i.e l'intégrale que tu as appelé I diverge).
Et effectivement 1/x n'est pas intégrable au voisinage de 0 (pourquoi?).

[A voir en vidéo sur Futura]