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Integrabilité (Lebesgue) d'une fonction



  1. #1
    neurone en panne

    Integrabilité (Lebesgue) d'une fonction


    ------

    Bonjour !
    Voilà mon probleme:

    (Questions indépendantes)
    a/
    Soit f une fonction intégrable sur [0,b] et
    g(x) =
    pour 0xb.
    Montrer que g est integrable sur [0,b] et que
    = .

    b/
    Soit f une fonction mesurable, à valeurs finies sur [0,1], et telle que |f(x)-f(y)| est intégrable sur [0,1]x[0,1].
    Montrer que f(x) est intégrable sur [0,1].

    Pour la question a/, j'ai essayé de me débrouiller en écrivant l'intégrable sous la forme
    ,
    mais je n'arrive pas à me défaire de la double intégrale.
    Pour la question b/, je devine qu'il faut utiliser le théorème de Fubini, donc j'ai essayé d'écrire sous la forme :
    Soit g(x,y) = |f(x)-f(y)|, intégrable. Ensuite, on considère :
    , mais là j'arrive pas a voir comment prendre la double intégrale pour en conclure que f est intégrable.

    Quelqu'un peut m'aider ?
    Merci.

    -----

  2. #2
    Garnet

    Re : Integrabilité (Lebesgue) d'une fonction

    Pour la a/ on s'en sort avec Fubini.

  3. #3
    neurone en panne

    Re : Integrabilité (Lebesgue) d'une fonction

    Heu...un autre indice, peut-être ?!

  4. #4
    Garnet

    Re : Integrabilité (Lebesgue) d'une fonction

    En ecrivant:
    .

    Pour la b/ je ne sais pas encore...

  5. A voir en vidéo sur Futura

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