Fonction de Cantor-Lebesgue

invite947ee6e5 · 22/02/2009, 17h57

Bonjour,

Quelqu'un saurait-il montrer, à partir de la définition, que la fonction de Cantor-Lebesgue (dont le graphe est l'escalier du diable, ou escalier de Cantor) n'est pas absolument continue ?

invite57a1e779 · 22/02/2009, 18h18

A l'étape n° $\text{[math]}$ de la construction de l'ensemble de Cantor, on a un compact $\text{[math]}$ constitué de $\text{[math]}$ intervalles $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) de longueur $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Les intervalles $\text{[math]}$ sont d'intérieurs disjoints et $\text{[math]}$ : pour tout $\text{[math]}$ , il existe donc un entier $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Mais, par définition de la fonction de Cantor-Lebesgue, que je note $\text{[math]}$ , on a, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc
$\text{[math]}$
ce qui prouve que $\text{[math]}$ n'est pas absolument continue.

Fonction de Cantor-Lebesgue

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Re : Fonction de Cantor-Lebesgue

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