Ensemble de Cantor
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Ensemble de Cantor



  1. #1
    invite769a1844

    Ensemble de Cantor


    ------

    Bonjour,

    je bloque sur cet exercice:

    Soit .
    On divise en trois parties égales et on enlève l'intervalle ouvert au milieu pour obtenir .
    On divise à nouveau chaque segment obtenu en trois parties égales et on enlève chaque intervalle ouvert médian pour obtenir et ainsi de suite. L'ensemble est appelé l'ensemble de Cantor (canonique).

    1) Montrer que

    ,

    ,


    .

    2) Pour tout avec on fait correspondre le réel . Vérifier que définit une application surjective de sur et en déduire que n'est pas dénombrable.

    3) Montrer que est -négligeable. Quel commentaire faites-vous?





    Je bloque à partir de la question 1), j'ai bien montré que
    ,

    par contre j'ai du mal à établir l'hérédité de ma récurrence sur , pour montrer que
    ,

    entre autres parce que je n'arrive pas à exprimer en termes d'unions d'intervalles disjoints, comme le suggère la construction.

    Merci pour vos indications

    -----

  2. #2
    invite769a1844

    Re : ensemble de Cantor

    Donc on suppose la propriété vraie pour l'entier .

    Soit , alors par hypothèse de récurrence

    avec .

    Reste à montrer que .

  3. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut !

    Toi, t'es à l'UM2

    [edit]ce message ne sert pas à grand chose...[/edit]

  4. #4
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    salut,

    comment tu vois ça?

    [edit] je viens de voir ta localisation, tu dois être inscrit en analyse4 aussi [/edit]

    Tu l'as fait cet exo?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    [edit] je viens de voir ta localisation, tu dois être inscrit en analyse4 aussi [/edit]

    Tu l'as fait cet exo?
    Yep !
    Oui, je l'ai fait.

    L'idée (si on connait les idées générales des développement p-adiques) :
    Si x est dans 1/3,2/3, dans son écriture triadique, le premier chiffre sera un 1
    et s'il est dans 0,1/3 ou 2/3,1 le premier chiffre sera un 0 ou un 2.
    Et ainsi de suite

    Mais ça peut-être le savais-tu déjà


    Romain

    EDIT : premier chiffre après la virgule bien sûr !

  7. #6
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    euh j'avais vite fait vu les fractions diadiques pour la convexité de fonction (pas bien digéré).

    Je vais me renseigner sur les développements p-adiques, merci du tuyau.

    Le développement p-adique d'un nombre correspond à son développement en base p?

    Si x est dans 1/3,2/3, dans son écriture triadique, le premier chiffre sera un 1
    et s'il est dans 0,1/3 ou 2/3,1 le premier chiffre sera un 0 ou un 2.
    Et ainsi de suite
    ce n'est pas ce qu'on doit montrer justement?

  8. #7
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    ok, je viens de trouver un stage qui traite ce sujet, pour les intéressés :

    http://www.humanitude.asso.uvsq.fr/s...jet/projet.pdf (page 32, 2.3 Approche numérique de )


  9. #8
    Romain-des-Bois

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ce n'est pas ce qu'on doit montrer justement?
    D'après le prof de TD, on était sensé connaître les développement p-adiques et comme ce n'est pas l'objet de ce cours, il suffisait de citer ce résultat et voilà

  10. #9
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    mouais, je trouve ça un peu abusé de sa part, pour une fois qu'il y a un exo pas vraiment évident.

    Il aurait pu donner des références au lieu de dire n'importe quoi. J'ai fait l'impasse sur aucune partie de L1 et L2, à part si c'est das une UE de biologie ou d'électronique (où je n'étais pas inscrit) je te garantis qu'on a jamais vu ça (mais bon ils font souvent ce coup pour gagner du temps).

    C'est ce qu'à ll'air de dire la correction de mon prof, je n'y étais pas mais il y a juste le cas et qui sont montrés.

    J'ai regardé un peu tes messages (eh oui je suis curieux ), toi aussi tu t'es cassé les dents sur la provenance du critère d'Eisenstein et l'exo de topologie p-adique. (c'est vrai qu'ils ont pas assuré sur ces coups-là)

  11. #10
    invitee8dfe46e

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Yep !
    Oui, je l'ai fait.

    L'idée (si on connait les idées générales des développement p-adiques) :
    Si x est dans 1/3,2/3, dans son écriture triadique, le premier chiffre sera un 1
    et s'il est dans 0,1/3 ou 2/3,1 le premier chiffre sera un 0 ou un 2.
    Et ainsi de suite

    Mais ça peut-être le savais-tu déjà


    Romain

    EDIT : premier chiffre après la virgule bien sûr !
    Salut,
    Est-ce que cela ne nécessite pas l'utilisation de la fonction shift définie sur l'ensemble ${0,1,2}^N$?

  12. #11
    Romain-des-Bois

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    mouais, je trouve ça un peu abusé de sa part, pour une fois qu'il y a un exo pas vraiment évident.

    Il aurait pu donner des références au lieu de dire n'importe quoi. J'ai fait l'impasse sur aucune partie de L1 et L2, à part si c'est das une UE de biologie ou d'électronique (où je n'étais pas inscrit) je te garantis qu'on a jamais vu ça (mais bon ils font souvent ce coup pour gagner du temps).

    C'est ce qu'à ll'air de dire la correction de mon prof, je n'y étais pas mais il y a juste le cas et qui sont montrés.
    Je suis tout à fait d'accord avec toi

    J'ai regardé un peu tes messages (eh oui je suis curieux ), toi aussi tu t'es cassé les dents sur la provenance du critère d'Eisenstein et l'exo de topologie p-adique. (c'est vrai qu'ils ont pas assuré sur ces coups-là)



    Romain

  13. #12
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    c'est quoi la fonction schift ?

  14. #13
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    Bonjour et Joyeux Noël à tous, je me permets de vous faire partager une excellente explication sur mon problème qu'on m'a donné sur un autre forum:

    tout d'abord c'est la décomposition en base 3...

    Remarquons déjà que est réunion disjointe de d'intervalles dont les bornes sont de la forme : avec et ,

    si donc alors il existe tel que .

    On a donc avec car dans un intervalle de longueur égale à ,

    donc la décomposition en base 3 de ce dernier terme s'écrit : avec pour

    d'où

  15. #14
    invite52487760

    Re : Ensemble de Cantor

    joyeux Noel à toi aussi !!

  16. #15
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    merci Pablo

  17. #16
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    Est-ce qu'il existe d'autres ensembles négligeables dans IR et qui soient non dénombrables (et non finis), et qui sont construits de manière différente que l'ensemble de Cantor.

  18. #17
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    Encore d'autres petites questions sur ces notions qui sont pour moi bien exotiques:

    1) J'ai du mal à voir le lien qui il y aurait entre le cantor triadique et le corps des nombres 3-adiques .

    2) Je ne saisis pas vraiment non plus les liens qu'il y aurait entre un nombre p-adique, un développement p-adique, et un développement en base p.

    Merci pour vos réponses

  19. #18
    Romain-des-Bois

    Re : Ensemble de Cantor

    Salut Ami Montpelliérain !

    Pour ta question précédente :
    Il me semble que seuls les ensembles construits "exprès pour" peuvent vérifier les mêmes propriétés que le triadique. (je crois que ça se démontre)

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Encore d'autres petites questions sur ces notions qui sont pour moi bien exotiques:
    2) Je ne saisis pas vraiment non plus les liens qu'il y aurait entre un nombre p-adique, un développement p-adique, et un développement en base p.

    Merci pour vos réponses
    Bah, le développement p-adique = le dév en base p
    un nombre p-adique est un nombre écrit en base p


  20. #19
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    salut,

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Salut Ami Montpelliérain !

    Pour ta question précédente :
    Il me semble que seuls les ensembles construits "exprès pour" peuvent vérifier les mêmes propriétés que le triadique. (je crois que ça se démontre)
    ie à la puissance du continu, compact et d'intérieur vide?

  21. #20
    invite769a1844

    Re : Ensemble de Cantor

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Bah, le développement p-adique = le dév en base p
    un nombre p-adique est un nombre écrit en base p

    Ok, merci pour ces informations romain, en fait il y a essentiellement la topologie qui différencie et .

    un nombre p-adique est un nombre écrit en base p
    En y réfléchissant j'ai des doutes, mais je crois que je commence à comprendre la nuance, en relisant wikipedia.

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