Ensemble de Cantor

invite769a1844 · 23/12/2007, 12h53

Bonjour,

je bloque sur cet exercice:

Soit $\text{[math]}$ .
On divise en trois parties égales et on enlève l'intervalle ouvert au milieu pour obtenir $\text{[math]}$ .
On divise à nouveau chaque segment obtenu en trois parties égales et on enlève chaque intervalle ouvert médian pour obtenir $\text{[math]}$ et ainsi de suite. L'ensemble $\text{[math]}$ est appelé l'ensemble de Cantor (canonique).

1) Montrer que

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ .

2) Pour tout $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on fait correspondre le réel $\text{[math]}$ . Vérifier que $\text{[math]}$ définit une application surjective de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ et en déduire que $\text{[math]}$ n'est pas dénombrable.

3) Montrer que $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ -négligeable. Quel commentaire faites-vous?

Je bloque à partir de la question 1), j'ai bien montré que

$\text{[math]}$ ,

par contre j'ai du mal à établir l'hérédité de ma récurrence sur $\text{[math]}$ , pour montrer que

$\text{[math]}$ ,

entre autres parce que je n'arrive pas à exprimer $\text{[math]}$ en termes d'unions d'intervalles disjoints, comme le suggère la construction.

Merci pour vos indications

invite769a1844 · 23/12/2007, 13h10

Donc on suppose la propriété vraie pour l'entier $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ , alors par hypothèse de récurrence

$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ .

Reste à montrer que $\text{[math]}$ .

inviteaeeb6d8b · 23/12/2007, 22h05

Salut !

Toi, t'es à l'UM2

[edit]ce message ne sert pas à grand chose...[/edit]

invite769a1844 · 23/12/2007, 22h12

salut,

comment tu vois ça?

[edit] je viens de voir ta localisation, tu dois être inscrit en analyse4 aussi

[/edit]

Tu l'as fait cet exo?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaeeb6d8b · 23/12/2007, 22h20

Envoyé par rhomuald

[edit] je viens de voir ta localisation, tu dois être inscrit en analyse4 aussi

[/edit]

Tu l'as fait cet exo?

Yep !
Oui, je l'ai fait.

L'idée (si on connait les idées générales des développement p-adiques) :
Si x est dans 1/3,2/3, dans son écriture triadique, le premier chiffre sera un 1
et s'il est dans 0,1/3 ou 2/3,1 le premier chiffre sera un 0 ou un 2.
Et ainsi de suite

Mais ça peut-être le savais-tu déjà

Romain

EDIT : premier chiffre après la virgule bien sûr !

invite769a1844 · 23/12/2007, 22h28

euh j'avais vite fait vu les fractions diadiques pour la convexité de fonction (pas bien digéré).

Je vais me renseigner sur les développements p-adiques, merci du tuyau.

Le développement p-adique d'un nombre correspond à son développement en base p?

Si x est dans 1/3,2/3, dans son écriture triadique, le premier chiffre sera un 1
et s'il est dans 0,1/3 ou 2/3,1 le premier chiffre sera un 0 ou un 2.
Et ainsi de suite

ce n'est pas ce qu'on doit montrer justement?

invite769a1844 · 23/12/2007, 22h47

ok, je viens de trouver un stage qui traite ce sujet, pour les intéressés :

http://www.humanitude.asso.uvsq.fr/s...jet/projet.pdf (page 32, 2.3 Approche numérique de $\text{[math]}$ )

inviteaeeb6d8b · 23/12/2007, 22h53

Envoyé par rhomuald

ce n'est pas ce qu'on doit montrer justement?

D'après le prof de TD, on était sensé connaître les développement p-adiques et comme ce n'est pas l'objet de ce cours, il suffisait de citer ce résultat et voilà

invite769a1844 · 23/12/2007, 23h07

mouais, je trouve ça un peu abusé de sa part, pour une fois qu'il y a un exo pas vraiment évident.

Il aurait pu donner des références au lieu de dire n'importe quoi. J'ai fait l'impasse sur aucune partie de L1 et L2, à part si c'est das une UE de biologie ou d'électronique (où je n'étais pas inscrit) je te garantis qu'on a jamais vu ça (mais bon ils font souvent ce coup pour gagner du temps).

C'est ce qu'à ll'air de dire la correction de mon prof, je n'y étais pas mais il y a juste le cas $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui sont montrés.

J'ai regardé un peu tes messages (eh oui je suis curieux

), toi aussi tu t'es cassé les dents sur la provenance du critère d'Eisenstein et l'exo de topologie p-adique.

(c'est vrai qu'ils ont pas assuré sur ces coups-là)

invitee8dfe46e · 24/12/2007, 13h14

Envoyé par Romain-des-Bois

Yep !
Oui, je l'ai fait.

L'idée (si on connait les idées générales des développement p-adiques) :
Si x est dans 1/3,2/3, dans son écriture triadique, le premier chiffre sera un 1
et s'il est dans 0,1/3 ou 2/3,1 le premier chiffre sera un 0 ou un 2.
Et ainsi de suite

Mais ça peut-être le savais-tu déjà

Romain

EDIT : premier chiffre après la virgule bien sûr !

Salut,
Est-ce que cela ne nécessite pas l'utilisation de la fonction shift définie sur l'ensemble ${0,1,2}^N$?

inviteaeeb6d8b · 24/12/2007, 13h39

Envoyé par rhomuald

mouais, je trouve ça un peu abusé de sa part, pour une fois qu'il y a un exo pas vraiment évident.

Il aurait pu donner des références au lieu de dire n'importe quoi. J'ai fait l'impasse sur aucune partie de L1 et L2, à part si c'est das une UE de biologie ou d'électronique (où je n'étais pas inscrit) je te garantis qu'on a jamais vu ça (mais bon ils font souvent ce coup pour gagner du temps).

C'est ce qu'à ll'air de dire la correction de mon prof, je n'y étais pas mais il y a juste le cas $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui sont montrés.

Je suis tout à fait d'accord avec toi

J'ai regardé un peu tes messages (eh oui je suis curieux

), toi aussi tu t'es cassé les dents sur la provenance du critère d'Eisenstein et l'exo de topologie p-adique.

(c'est vrai qu'ils ont pas assuré sur ces coups-là)

Romain

invite769a1844 · 25/12/2007, 00h50

c'est quoi la fonction schift ?

invite769a1844 · 25/12/2007, 14h46

Bonjour et Joyeux Noël à tous, je me permets de vous faire partager une excellente explication sur mon problème qu'on m'a donné sur un autre forum:

tout d'abord $\text{[math]}$ c'est la décomposition en base 3...

Remarquons déjà que $\text{[math]}$ est réunion disjointe de $\text{[math]}$ d'intervalles dont les bornes sont de la forme : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,

si donc $\text{[math]}$ alors il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

On a donc $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ car dans un intervalle de longueur égale à $\text{[math]}$ ,

donc la décomposition en base 3 de ce dernier terme s'écrit : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

d'où $\text{[math]}$

invitecbade190 · 25/12/2007, 15h16

joyeux Noel à toi aussi !!

invite769a1844 · 25/12/2007, 15h44

merci Pablo

invite769a1844 · 25/12/2007, 22h43

Est-ce qu'il existe d'autres ensembles négligeables dans IR et qui soient non dénombrables (et non finis), et qui sont construits de manière différente que l'ensemble de Cantor.

invite769a1844 · 27/12/2007, 23h26

Encore d'autres petites questions sur ces notions qui sont pour moi bien exotiques:

1) J'ai du mal à voir le lien qui il y aurait entre le cantor triadique $\text{[math]}$ et le corps des nombres 3-adiques $\text{[math]}$ .

2) Je ne saisis pas vraiment non plus les liens qu'il y aurait entre un nombre p-adique, un développement p-adique, et un développement en base p.

Merci pour vos réponses

inviteaeeb6d8b · 28/12/2007, 19h33

Salut Ami Montpelliérain !

Pour ta question précédente :
Il me semble que seuls les ensembles construits "exprès pour" peuvent vérifier les mêmes propriétés que le triadique. (je crois que ça se démontre)

Envoyé par rhomuald

Encore d'autres petites questions sur ces notions qui sont pour moi bien exotiques:
2) Je ne saisis pas vraiment non plus les liens qu'il y aurait entre un nombre p-adique, un développement p-adique, et un développement en base p.

Merci pour vos réponses

Bah, le développement p-adique = le dév en base p
un nombre p-adique est un nombre écrit en base p

invite769a1844 · 28/12/2007, 19h42

salut,

Envoyé par Romain-des-Bois

Salut Ami Montpelliérain !

Pour ta question précédente :
Il me semble que seuls les ensembles construits "exprès pour" peuvent vérifier les mêmes propriétés que le triadique. (je crois que ça se démontre)

ie à la puissance du continu, compact et d'intérieur vide?

invite769a1844 · 28/12/2007, 20h36

Envoyé par Romain-des-Bois

Bah, le développement p-adique = le dév en base p
un nombre p-adique est un nombre écrit en base p

Ok, merci pour ces informations romain, en fait il y a essentiellement la topologie qui différencie $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

un nombre p-adique est un nombre écrit en base p

En y réfléchissant j'ai des doutes, mais je crois que je commence à comprendre la nuance, en relisant wikipedia.

Ensemble de Cantor

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Re : ensemble de Cantor

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