Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

[invite429105c0]

Bonjour
J'ai lu certaine réponse sur ce sujet,mais elle ne m'eclaire pas sur l'exercice qui me préoccupe...

J'aimerais une réponse rapide si possible,merci d'avance...

Enoncé :"problème de la ficelle"(calcul & analytic Geometry)
1 ficelle de Longueur "L" est coupée en 2 morceaux. Avec le 1er,on forme 1 cercle. Avec le 2nd,on crée un carré.
A quel endroit doit-on coupé la ficelle pour que la somme des aires des domaines obtenus soit maximales....
On pourra désigner par "x",la dimension du coté du carré, sachant que : 0<x<L/4

Donc L=L1+L2 & At=A1+A2= f(x)
Données :
cercle => P1=pi*D=2*pi*r & A1=pi*r²=pi*D²/4
carré => P2=4x & A2=x² 0<x<L/4

Df =IR*+ (f(x) = At)

Donc :
At=A1+A2=x²+(pi*D²/4)
L=L1+L2 avec L1=P1=pi*D & L2=P2=4x
=> L=P1+P2=(pi*D)+4x
=> P2=L-4x=pi*D

6 hypothèses de travail : (dont 2 hors sujet => aux limites de l'étude)
Hyp.1) x=0 => L=P1=pi*D²/4 => x=L/(pi+4) or D=P1/pi
=> At = A1=P1²/4*pi=L²/4*pi
At a une valeur max, mais L non coupée en 2.

Hyp.2) x=L/4 => L=P2=4x
=> At = A2=x²=(P2/4)²=(L/4)²=L²/16
At a une 2e valeur max, mais L non coupée en 2

Hyp.3) L#0,L#P1,L#P2 mais P1=P2=L/2 => x/8
P1=L/2=pi*D & P2=4x => D=L/(2*pi) & L=8x
=> A1=pi*D²/4=L²/16*pi & A2=L²/64
At=A1+A2=(L²/64)+(L²/16*pi)=64x²[(pi+4)/64*pi]=x²+(4*x²/pi)
exprimée en fonction de L => At = L²/64[1+(4/pi)]

Hyp.4) L#P1#P2 ; L#0 & L#L/2 ; x#0 & x#L/4
a) si x=D => L=x(pi+4) => x=L/(pi+4)
=> At =x²[1+(pi/4)] => At=D²[1+(pi/4)] => At=[L/(pi+4)]²*[1+(pi/4)]=L²/4(pi+4)=L²/(4*pi+8)
b) si D=x*racine² de2
At est plus grande que précédement qd x=D mais pas la plus grande.

Hyp.5) x#D#0 & x#L/4, Cercle et carré sont disctinct.
D=[L-(4*x)]/pi
=> At=A1+A2=x²+(L-4x)²/4*pi
j'obtiens At=f(x)=1/pi*[x²(pi+4)-2L*x+(L/2)²] , mais malheureusement,j'ai 2 inconnues.....!!
et surtout le discriminant Delta=-pi*L² => tjrs négatif !!
sans parler de la dérivée f '(x)=1/pi[(2pi+8)x-2L]

Hyp.6) A1=A2 => pi*D²/4=x²
At =x²-x-L/4 => Delta=1+L
je trouve x=-1/2 & L=-1 => ça serait possible en math mais pas dans la réalité,la longueur ne peut être que positive d'où Df = IR*+.. donc au dessus de zéro...

Merci de m'aider à y voir clair et trouver une solution satisfaisant à ce problème...
Au plaisir de rapidement vous lire sur ce sujet,sachant qu'il faut que je rende mon devoir très bientot,au plutôt Lundi, au plus tard mercredi.
A tres bientot
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
J'ai l'impression que tu es allé chercher beaucoup trop compliqué.

Quelle est l'aire du cercle en fonction de x et L ?

[Celestion]

Hyp.5) x#D#0 & x#L/4, Cercle et carré sont disctinct.
D=[L-(4*x)]/pi
=> At=A1+A2=x²+(L-4x)²/4*pi
j'obtiens At=f(x)=1/pi*[x²(pi+4)-2L*x+(L/2)²] , mais malheureusement,j'ai 2 inconnues.....!!
et surtout le discriminant Delta=-pi*L² => tjrs négatif !!
sans parler de la dérivée f '(x)=1/pi[(2pi+8)x-2L]

Pourtant ça semble être la bonne méthode.
f(x) représente la surface du carré ajouté à celle du cercle.
Tu cherches à connaître quand elle est maximale en fonction de x.
Que vaut la dérivée pour les extrema de la fonction ?

[invite429105c0]

Salut,
J'ai l'impression que tu es allé chercher beaucoup trop compliqué.

Quelle est l'aire du cercle en fonction de x et L ?

Pour moi, l'Aire du cercle => A1=pi/4[(L-4x)/pi]²

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Et l'aire du carré est ?
Donc la somme est ?
Et son extremum est atteint pour quelle valeur de x ?

[breukin]

Mais tu avais juste :
At=f(x)=x²+(L–4x)²/4.pi
Et donc f '(x)=2x–2(L–4x)/pi qui s'annule si pi.x=L–4x soit x=L/(pi+4)
Où as-tu vu deux inconnues ? L n'est pas une inconnue, mais un paramètre, une donnée.

[invite429105c0]

Et l'aire du carré est ?
Donc la somme est ?
Et son extremum est atteint pour quelle valeur de x ?

Oui,oui !!
L'aire du carré comme indiqué plus haut et kom tt le monde le sait est : A2=x²
A1=pi/4*[(L-4x)/pi]²=1/pi*[4x²-2Lx-(L/2)²]

Donc Sigma de A=At=f(x)=A1+A2=x²+1/pi*[4x²-2Lx+(L/2)²]
=> f(x)=1/pi*[x²(pi+4)-2Lx+(L/2)²]
du type f(x)=k*U(x) avec U(x)=ax²+bx+c
k=1/pi ; a=(pi+4) ; b=-2L ; c=(L/2)²
=> f '(x)=1/pi[2(pi+4)x-2L] => f '(x)=2/pi[(pi+4)x-L]
=> f '(x)=0 pour x=L/(pi+4)=x0

d'où f(x0)=L²/4*(pi+4)

[invite429105c0]

Mais tu avais juste :
At=f(x)=x²+(L–4x)²/4.pi
Et donc f '(x)=2x–2(L–4x)/pi qui s'annule si pi.x=L–4x soit x=L/(pi+4)
Où as-tu vu deux inconnues ? L n'est pas une inconnue, mais un paramètre, une donnée.

ben oui, j'avais trop "la tête dans le guidon"...
en fait,j'avais fait une erreur dans le calcul de A1 a un moment
donc mon f(x) était bien une fonction du 2e degré,mais si je calculais Delta il était négatif.
Après vérif,suis retombé sur mon erreur dans mes brouillons et j'ai pu facilement déterminer f '(x) ,puis f '(x)=0 et obtenir que x=L/(pi+4) est la valeur de "x" où l'on obtient un extremum (1 maxi en fait) donc des aires maxi pour le cercle(A1) + le carré(A2)....

La solution est donc :
La ficelle "L" doit être coupée pour 1 valeur du coté du carré "x" tel que x=L/(pi+4)
D'où L2 = L²/(pi+4) = P2 = périmètre du carré maxi
& L1 = L-L2 = L[1-L/(pi+4)]
si L=10cm
x=1,4cm
L1 = L[1-4/(pi+4)] = 4,4cm
L2 = 4L/(pi+4) = 5,6cm

Merci de votre aide à tous...
Tout va bien now...
Et je rends mon devoir rassuré d'avoir le bon raisonnement et le bon résultat.
@+

[invite429105c0]

Oups.. correctif...(j'écris trop vite sans relire..)
La solution est donc :
La ficelle "L" doit être coupée pour 1 valeur du coté du carré "x" tel que x=L/(pi+4)
D'où L2 = L/(pi+4) = P2 = périmètre du carré maxi
& L1 = L-L2 = L[1-4/(pi+4)]

Donc si L=10cm
x=1,4cm => carré de 1,4cm de coté
d'où L2 = 4L/(pi+4)
=> L2 = 5,6cm
& L1 = L[1-4/(pi+4)]
=> L1 = 4,4cm

Merci de vos réponse & vérif/motivation @ tous...
Tout va bien now..., j'peux aller dormir tranquil...........
Ciao,ciao !!

[breukin]

Note qu'il était inutile de développer pour avoir un polynôme du second degré avant de dériver.
L'expression f(x)=x²+(L–4x)²/4.pi était suffisante pour dériver et menait plus rapidement au résultat, avec moins de risques d'erreur.