Exercice TS : Aire maximale d'un triangle

[invite1c9d6115]

Bonjour à tous,

Voila j'ai une fiche composée de quelques exercices plus ou moins durs, et notamment celui-ci:

Dans un repère (O;i;j), on considère la courbe C d'équation y=√x et A un point fixe de C d'abscisse a strictement positive.

On considère un point M de C situé entre O et A.

La tangente T1 à C au point A coupe l'axe (O;j) en B.

La tangente T2 à C au point M coup l'axe (O;j) en N.

T1 et T2 se coupent en un point P.

Où doit-on placer M sur C pour que l'aire du triangle BNP soit maximale ?

Voila, ce qui me gêne surtout c'est que l'on a pas grand chose pour commencer.
D'après déduction graphique, je dirai que l'aire de BNP est maximale lorsque celui-ci possède une base égale à sa hauteur, soit lorsqu'il est isocèle en P.

Je ne sais même pas si c'est juste, et si ça l'est je ne vois pas vraiment comment le démontrer.

Si quelqu'un pouvais m'indiquer juste comment commencer car là je sèche complet.

Merci d'avance à tous ceux qui m'aideront.
Bruno
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[invitea3eb043e]

D'abord trouver l'équation de T1, dont on connaît le coefficient directeur et un point, ça doit suffire.
Ensuite l'équation de T2, c'est la même forme mais on remplace a par u, abscisse de M (ne pas l'appeler x car ça fait de la confusion avec l'axe des x)
En déduire OB et ON et aussi les coordonnées du point P intersection de 2 droites (pas sorcier, ça).
Ensuite l'aire d'un triangle de base BN et de hauteur égale à ...

[invite7bfc68ef]

Bonjour à tous,

Voila j'ai une fiche composée de quelques exercices plus ou moins durs, et notamment celui-ci:

Dans un repère (O;i;j), on considère la courbe C d'équation y=√x et A un point fixe de C d'abscisse a strictement positive.

On considère un point M de C situé entre O et A.

La tangente T1 à C au point A coupe l'axe (O;j) en B.

La tangente T2 à C au point M coup l'axe (O;j) en N.

T1 et T2 se coupent en un point P.

Où doit-on placer M sur C pour que l'aire du triangle BNP soit maximale ?

Voila, ce qui me gêne surtout c'est que l'on a pas grand chose pour commencer.
D'après déduction graphique, je dirai que l'aire de BNP est maximale lorsque celui-ci possède une base égale à sa hauteur, soit lorsqu'il est isocèle en P.

Je ne sais même pas si c'est juste, et si ça l'est je ne vois pas vraiment comment le démontrer.

Si quelqu'un pouvais m'indiquer juste comment commencer car là je sèche complet.

Merci d'avance à tous ceux qui m'aideront.
Bruno

bonsoir jean paul t'a très bien mis sur la voie ; donc l'aire max est pour M le quart de l'abscisse de A exemple A (4;2) M aura (1;1) pour coordonnées ; pour le démontrer je te propose la méthode de la dichothomie salut

[invite1c9d6115]

pour le démontrer je te propose la méthode de la dichothomie

On a pas vu ça, donc je ne pense pas que ce soit à démontrer avec cette méthode.

Sinon je suis en train d'avancer doucement mais si quelqu'un pouvait confirmer ceci (suite à la réponse de Jeanpaul) :

Soit A(9;3) et M(4;2) :

Yt1=1/6x+3/2
Yt2=1/4x+1

OB=3/2 et ON=1
Donc BN=1/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c9d6115]

J'ai aussi calculé les coordonnées de P via un système et je trouve P(6;5/2).

J'obtiens donc une aire de 1.5 -> (0.5x6)/2

Après je ne vois pas vraiment comment passer cela en quelquechose de plus général.

J'ai voulu essayer une représentation via Géoplan mais impossible de tracer des tangentes à des courbes.

Voila en gros je rame encore un peu ^^

[invitea3eb043e]

On a pas vu ça, donc je ne pense pas que ce soit à démontrer avec cette méthode.

Sinon je suis en train d'avancer doucement mais si quelqu'un pouvait confirmer ceci (suite à la réponse de Jeanpaul) :

Soit A(9;3) et M(4;2) :

Yt1=1/6x+3/2
Yt2=1/4x+1

OB=3/2 et ON=1
Donc BN=1/2

D'où sors-tu ce a = 9 ? Il n'est pas dans l'énoncé.
De même, si tu imposes à M d'avoir l'abscisse 4, il ne reste plus rien à trouver.
Ceci dit, ce que tu écris est juste, preuve que ta méthode est correcte. Simplement il faut laisser a comme abscisse de A et laisser u pour abscisse de M (c'est u l'inconnue).
Ensuite trouver l'abscisse de P (l'ordonnée ne sert à rien).

[invite1c9d6115]

Ok donc je trouve Yt1=x√a/2a+√a/2
et Yt2=x√u/2u+√u/2

Donc B(0;√a/2)
et N(0;√u/2)

On en déduit BN qui est (√a-√u)/2

Je trouve que l'abscisse de P est égale à au(√u-√a)/(u√a)-(a√u)

J'obtiens avec ceci une Aire de [2au√(au)-a²u-au²]/4[(u√a)-(a√u)]

Pour trouver l'abscisse de M tel que l'aire soit maximale, il faut donc que j'étudie les variations de f.

Le problème c'est que en dérivant ce qui est plus haut, je trouve un calcul à rallonge et j'aimerais bien que l'on me confirme ce que j'ai trouvé avant que je me lance dedans.

Merci d'avance
Bruno

[invite7bfc68ef]

Ok donc je trouve Yt1=x√a/2a+√a/2
et Yt2=x√u/2u+√u/2

Donc B(0;√a/2)
et N(0;√u/2)

On en déduit BN qui est (√a-√u)/2

Je trouve que l'abscisse de P est égale à au(√u-√a)/(u√a)-(a√u)

J'obtiens avec ceci une Aire de [2au√(au)-a²u-au²]/4[(u√a)-(a√u)]

Pour trouver l'abscisse de M tel que l'aire soit maximale, il faut donc que j'étudie les variations de f.

Le problème c'est que en dérivant ce qui est plus haut, je trouve un calcul à rallonge et j'aimerais bien que l'on me confirme ce que j'ai trouvé avant que je me lance dedans.

Merci d'avance
Bruno

bonsoir Bruno
cet exo a été étudié pour te faire calculer un max d'équation de tg en A et un max de tg en M et un max de coordonnées du point P et la réponse est que le point M doit avoir le quart de l'abscisse du point A et ne peut se démontrer que par dichotomie ; lance toi d'abord dans la dérivée de f(x) et dans les tangeantes ; bon courage ; mais c'est pas si dur

[invitea3eb043e]

Ok donc je trouve Yt1=x√a/2a+√a/2
et Yt2=x√u/2u+√u/2

Donc B(0;√a/2)
et N(0;√u/2)

On en déduit BN qui est (√a-√u)/2

Je trouve que l'abscisse de P est égale à au(√u-√a)/(u√a)-(a√u)

J'obtiens avec ceci une Aire de [2au√(au)-a²u-au²]/4[(u√a)-(a√u)]

Pour trouver l'abscisse de M tel que l'aire soit maximale, il faut donc que j'étudie les variations de f.

Le problème c'est que en dérivant ce qui est plus haut, je trouve un calcul à rallonge et j'aimerais bien que l'on me confirme ce que j'ai trouvé avant que je me lance dedans.

Merci d'avance
Bruno

regarde bien l'abscisse de P. En mettant racine de au en facteur en bas, tu simplifies par la différence des 2 racines et tout devient très simple, encore plus en posant v²=u.