Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale



  1. #1
    Bleyblue

    Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale


    ------

    Bonjour,

    Dans un problème, il m'est demandé de calculer les dimensions (= la hauteur du rectangle) d'une fenêtre composée d'un rectangle surmonté d'un demi cercle de manière à ce qu'elle laisse passer un maximum de lumière. Le périmètre de la fenêtre est P.

    Il faut donc que son aire soit maximale.
    Si h est la hauteur du rectangle et r le rayon de la sphère (et donc la largeur du rectangle), l'aire de la fenêtre devrait être :

    A = (pi * r²)/2 + (r * h)

    Quant au périmètre -> P = pi * r + 2h + r
    (une des largeur r ne joue pas car sur elle se trouve sur le demi cercle)

    Si on isole h dans l'équation de P (on suppose p constant) on
    trouve :

    h = (P - pi * r - r)/2

    Si on injecte cela dans l'autre équation :

    A = (1/2) * ( pi*r² + P*r - r²*pi - r²)

    et donc dA/dr = (1/2)*(P - 2r)

    et quant P/2 = r l'aire est maximale

    L'ennui c'est que quand je remplace ça dans l'équation qui me donne h (h = (P - pi * r - r)/2) je ne tombe pas du tout sur :

    h = P/(4 + pi) qui devrait être la bonne réponse.

    Voyez vous pourquoi ?

    Merci !

    P.S. : Si j'enfreint les règles du forum avec mes question sur des résolutions d'execices, dites le moi, j'arrêterais

    Zazeglu

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    cricri

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    si r est le rayon
    A = (pi * r²)/2 + (r * h) c est pas plutot
    A= (pi *r2)/2 +(2r*h)
    et P = pi * r + 2h + 2r

  4. #3
    shokin

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Soient r=rayon et h la hauteur du rectangle et P, constante réelle qui t'est donnée.

    P=2r+2h+pir
    A=(pi*r^2)/2+2rh

    Si tu veux exprimer l'aire en fonction du rayon, tu isoles r à partir de P :

    r=(P-2h)/(2+pi) puis tu remplaces r dans la fonction d'aire.

    Si tu veux exprimer l'aire en fonction de la hauteur, tu isoles h à partir de P :

    h=(P-2r-pir)/2 puis tu templaces h dans la fonction d'aire.

    Tu dérives cette fonction d'aire pour trouver son extremum (ici en l'occurence un maximum).

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Aille Aille, la fonction dérivée ne s'annule qu'en r = 0, c'est louche

    Mais, pour le périmètre, ne faut il pas prendre r et non 2r ? Car la face du rectangle sur lequel se trouve le demi disque ne doit plus être prise en compte non ?

    Pour ce qui est de l'aire du rectangle, ce n'est pas plutôt r*h ?

    merci bien !

    Zazeglu

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    cricri

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    fait un dessin
    le bas du rectangle c est bien 2r les 2 cotes c est 2h et apres rajoute le demi cercle

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Argh, oui tu as raisons, c'est bien 2h et 2r, j'ai confondut rayon et diamètre, dire que j'avait déja fait un dessin (j'ai pris l'hbaitude d'en faire pour des problèmes pareils)

    merci

    Zazeglu

  9. Publicité
  10. #7
    Bleyblue

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Mais malheureusement le résultat est toujours faux, je revérifie pour voir malgré tout

    Merci

    Zazeglu

  11. #8
    shokin

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Tu as trouvé quoi comme fonction d'aire :
    - en fonction de r ?
    - en fonction de h ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Ah non, en fait tout va bien, j'avait fait une erreur en déivant

    Merci beaucoup a vous deux !

    Zazeglu

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    Je tombe sur A = (-pi*r² + 2rp - 4r²)/2
    d'où dA/dr = r(-pi - 4) + p ce qui est bien correcte

    Merci encore

    Zazeglu

  14. #11
    cricri

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    le solveur d excell semble me dire que pour un perimetre fixe l aire max est atteinte pour h =r

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

    C'est bien cela, quant on injecte P/(4+pi) dans la formule de h, on tombe à nouveau sur h = P/(4+pi) d'ou h = r

    Zazeglu

  16. Publicité

Discussions similaires

  1. Réponses: 17
    Dernier message: 02/12/2007, 00h09
  2. Chaleur: soit réfléchie, soit transmise?
    Par begue dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 07/01/2006, 11h51
  3. Concernant la dimension d'une grandeur pour un tipe
    Par jbulysse dans le forum TPE / TIPE et autres travaux
    Réponses: 2
    Dernier message: 08/07/2005, 09h58
  4. Réponses: 8
    Dernier message: 06/09/2003, 17h56