Dimension d'une surface pour que son aire soit maximale

[Bleyblue]

Bonjour,

Dans un problème, il m'est demandé de calculer les dimensions (= la hauteur du rectangle) d'une fenêtre composée d'un rectangle surmonté d'un demi cercle de manière à ce qu'elle laisse passer un maximum de lumière. Le périmètre de la fenêtre est P.

Il faut donc que son aire soit maximale.
Si h est la hauteur du rectangle et r le rayon de la sphère (et donc la largeur du rectangle), l'aire de la fenêtre devrait être :

A = (pi * r²)/2 + (r * h)

Quant au périmètre -> P = pi * r + 2h + r
(une des largeur r ne joue pas car sur elle se trouve sur le demi cercle)

Si on isole h dans l'équation de P (on suppose p constant) on
trouve :

h = (P - pi * r - r)/2

Si on injecte cela dans l'autre équation :

A = (1/2) * ( pi*r² + P*r - r²*pi - r²)

et donc dA/dr = (1/2)*(P - 2r)

et quant P/2 = r l'aire est maximale

L'ennui c'est que quand je remplace ça dans l'équation qui me donne h (h = (P - pi * r - r)/2) je ne tombe pas du tout sur :

h = P/(4 + pi) qui devrait être la bonne réponse.

Voyez vous pourquoi ?

Merci !

P.S. : Si j'enfreint les règles du forum avec mes question sur des résolutions d'execices, dites le moi, j'arrêterais

Zazeglu
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[invitedebe236f]

si r est le rayon
A = (pi * r²)/2 + (r * h) c est pas plutot
A= (pi *r2)/2 +(2r*h)
et P = pi * r + 2h + 2r

[shokin]

Soient r=rayon et h la hauteur du rectangle et P, constante réelle qui t'est donnée.

P=2r+2h+pir
A=(pi*r^2)/2+2rh

Si tu veux exprimer l'aire en fonction du rayon, tu isoles r à partir de P :

r=(P-2h)/(2+pi) puis tu remplaces r dans la fonction d'aire.

Si tu veux exprimer l'aire en fonction de la hauteur, tu isoles h à partir de P :

h=(P-2r-pir)/2 puis tu templaces h dans la fonction d'aire.

Tu dérives cette fonction d'aire pour trouver son extremum (ici en l'occurence un maximum).

Shokin

[Bleyblue]

Aille Aille, la fonction dérivée ne s'annule qu'en r = 0, c'est louche

Mais, pour le périmètre, ne faut il pas prendre r et non 2r ? Car la face du rectangle sur lequel se trouve le demi disque ne doit plus être prise en compte non ?

Pour ce qui est de l'aire du rectangle, ce n'est pas plutôt r*h ?

merci bien !

Zazeglu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedebe236f]

fait un dessin
le bas du rectangle c est bien 2r les 2 cotes c est 2h et apres rajoute le demi cercle

[Bleyblue]

Argh, oui tu as raisons, c'est bien 2h et 2r, j'ai confondut rayon et diamètre, dire que j'avait déja fait un dessin (j'ai pris l'hbaitude d'en faire pour des problèmes pareils)

merci

Zazeglu

[Bleyblue]

Mais malheureusement le résultat est toujours faux, je revérifie pour voir malgré tout

Merci

Zazeglu

[shokin]

Tu as trouvé quoi comme fonction d'aire :
- en fonction de r ?
- en fonction de h ?

Shokin

[Bleyblue]

Ah non, en fait tout va bien, j'avait fait une erreur en déivant

Merci beaucoup a vous deux !

Zazeglu

[Bleyblue]

Je tombe sur A = (-pi*r² + 2rp - 4r²)/2
d'où dA/dr = r(-pi - 4) + p ce qui est bien correcte

Merci encore

Zazeglu

[invitedebe236f]

le solveur d excell semble me dire que pour un perimetre fixe l aire max est atteinte pour h =r

[Bleyblue]

C'est bien cela, quant on injecte P/(4+pi) dans la formule de h, on tombe à nouveau sur h = P/(4+pi) d'ou h = r

Zazeglu