Retard au travail ,probabilité

[invite270c37bc]

Bonjour !

Je viens vous demander votre aide sur un problème de probabilité. Je crois que ma résolution est juste mais j'aimerais avoir votre confirmation.

Le problème est le suivant : je vais au travail ou en voiture ou en métro. En prenant le métro je suis 1 fois sur 4 en retard et en voiture 1 fois sur 2. Quand je suis en retard, je prends le jour suivant l'autre moyen de transport. Si je commence ma lubie avec une probabilité p de prendre la voiture :

1. quelle est la probabilité que je prenne la voiture le n-ieme jour?
2. que je sois en retard le n-ieme jour ?

Je pose : , prendre la voiture ; le métro. L'événement correspond au retard. Donc à arriver à l'heure.
Déjà ici j'ai des doutes, est ce que mes événements sont bien fixés ? Quel est le lien entre mon choix d’événements et mon espace de probabilité ? Je ne vois pas de lien direct entre arriver à l'heure et prendre la voiture. Ce que je veux dire c'est que dans un exercice de probabilité, en général je vais poser (par exemple le cas d'un lancer de dès), omega comme avec mon nombre de lancer de dès. Ici, c'est quoi mon omega?

Les calculs donnent :





Je ne suis pas non plus sûr de savoir justifier :
est ce par ce que les deux evenements partitionnent les choix de la journée ? Cette question rejoins directement la précédente, j'ai absoluement besoin d'une réponse sur ce sujet pour bien comprendre la rédaction de ce genre d'exercices.

Finalement, on a une suite arithmético géometrique, et donc la réponse devrait être donné par :




Pour le deuxième point, on utilise simplement la formule des probabilités totales.



Qu'en pensez vous ?
merci et bonne journée !
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[gg0]

Bonjour.

" est ce que mes événements sont bien fixés ?" manifestement non, ils ne sont même pas correctement définis. Déjà, comme n est la terme de la période examinée, utiliser n n'a pas de sens (c'est une constante). Ensuite ", prendre la voiture" n'est pas clair. Comme il y a différents jours, il y a différentes situations où on prend la voiture. Donc il serait mieux de définir comme la probabilité de prendre la voiture le k-ième jour, et idem pour V et R.

Enfin, ton problème se modélise mieux par un graphe d'états et une matrice stochastique. Mais déjà, l'énoncé est incomplet : Que fait-on le lendemain si on n'est pas arrivé en retard ?
Dans ton calcul, tu sembles supposer qu'en cas de non retard on conserve le même moyen de transport. Et ton résultat devrait donner , ce qui n'est pas le cas.

La question de l'univers des possibles est de celles qu'on passe généralement sous le tapis, car on ne va pas se servir de cet univers (en gros c'est "tout ce qui se passe").
Pour les événements et , ce sont bien des événements complémentaires, c'est dans ton énoncé : "je vais au travail ou en voiture ou en métro".

Cordialement.

[invite270c37bc]

Merci pour votre réponse gg0.

Oui vous avez raison. Merci pour les précisions.

je ne suis pas certain de connaître les graphes d'états et les matrices stochastiques, et si je les connaissais, ce n'est certainement pas de ma connaissance lié au cours que je revise...

J'ai effectivement implicité que si on n'arrivait à l'heure, on garde le même moyen de transport, désolé de ne pas l'avoir ecrit.

Merci aussi pour les indications sur l'univers.

Alors, le résultat sous forme récurrente est donc juste mais c'est la forme explicite (formule close) qui semble fausse. Il y a un décalage non pris en compte. Il faut écrire puissance (n-1) et non puissance n. C'est bien cela? En faisant ce changement, l'erreur que vous soulevez semble disparaitre.
Ce n'est pas une formule que j'ai l'habitude de manipuler, c'est pour cela que je n'étais pas certain. Mais je n'avais pas pensé à vérifier le 1er terme.

[gg0]

Oui, ça pourrait convenir, mais sans une démonstration, le fait que ça marche pour n=1 ne prouve rien.

Sinon, on voit que à long terme, il viendra une fois sur 3 en voiture.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

Cad que la démonstration est assez simple mais astucieuse. Je l'ai travaillé il y a déjà quelques temps et elle n'a rien d'intéressant en soit, par contre j'ai du mal à la retrouver. J'avais travaillé la démonstration sur wikipedia.

Merci Gg0. Bonne soirée à vous