[Probabilité] Fonction génératrice et probabilité conditionnelle

[invite3d8f65ca]

Hello,

J'ai du bien chercher pendant 1 jours entier mais je ne comprend toujours pas une étape d'une correction sur les fonctions génératrices.
Elle a l'air simple, mais je ne trouve absolument pas l'argument.

Début de l'énoncé (l'énoncé est au propre plus bas)

Soient X(1),X(2),X(3),... des variables aléatoires i.i.d (indépendantes et identiquement distribuées) suivant une loi de Bernouill de paramètre p ∈ ]0.1[. Soit N une variable aléatoire à valeurs dans Z et indépendantes des X(i).

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L'énoncé et la question : Capture d’e?cran 2017-01-19 a? 04.41.13.jpg
Et la correction : probablite?.jpg

Là où je ne comprend c'est l'étape où il y a * (dans le cadre).

Je vois bien qu'il utilise la probabilité conditionnelle, mais je ne comprend pas comment il fait apparait N=n ?
Je comprend bien que X est dépendant de N (dues à la somme) et on cherche à faire apparaître les Xi travailler plus facilement mais

1) Comment a-t-il pu faire sortir le variable aléatoire Y ?
2) Pourquoi la variable aléatoire Y n'est pas importante ?

Merci pour votre aide, car ça fait bien une journée que je bloque sur cette question et solution.
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[invite0b618583]

Par définition Y = N-X. Si X est fixé, connaître N ou connaître Y c'est la même chose. Du coup l'évènement {X=,x; Y=n-x} est le même que {X=x,N=n}.

[invite9dc7b526]

d'une manière générale, la loi de S = X1+...+XN où les Xi sont i.i.d. et indépendantes de N est appelée loi composée et si f est la fonction génératrice de X1, g la fonction génératrice de N et h celle de S alors h=gof

pour le voir on écrit h(t)=E(t^S)=E(E(t^(X1+..+Xn)|N =n))=E(f(t)^N)=g(f(t))