Probabilité Conditionnelle - Mix

[The_Anonymous]

Bonjour à tous!

Il me reste encore... 4 problèmes qui me tiennent tête.

Je n'ai pas envie d'ouvrir 4 topics différents, ça flooderait un peu trop quand même, mais du coup, gérer 4 problèmes si vous avez bien l'amabilité de vous penchez sur ce topic risque d'être un peu difficile noveau clarté.

Je vais déjà expliciter les problèmes qui me restent.

Problème 1 :

À l'aide d'un calcul de probabilité conditionnelle (eh oui... T.T), calcule la probabilité qu'il y ait 2 garçons dans une famille de trois enfants sachant qu'il y a au moins une fille.

Tout d'abord, mon raisonnement intuitif me dit qu'il faut "enlever" le troisième enfant puisqu'on sait qu'il y a au moins une fille. Donc, il ne reste plus que 2 enfants à déterminer, et alors on a les 4 cas possibles :
FF, GG, FG, GF (F=fille, G=garçon). Donc, une chance sur quatre que 2 enfants sur 3 soit des garçons.

Mais je me dis (en plus que ce soit intuitif!) que mon raisonnement ne tient pas compte du fait qu'il y ait déjà eu une fille parmis les 3 enfants, donc que je loupe la condition. (Je veux pas trop revenir là-dessus x), mais comme si on considérerait qu'il ne restait plus 2 portes à regarder quand l'animateur nous ouvre la troisième (pour ceux qui ont regardé mon autre topic)).
Donc, je passe au calcul pur, et je nomme A="Il y a 2 garçons parmis les trois enfants", et B="Il y a au moins une fille parmis les trois enfants".
Je calcule donc . , en regardant tous les cas pour trois enfants (FFF, FFG, FGF, FGG, GFF, GFG, GGF, GGG), il y a 7/8 où il y a au moins une fille. , de la même manière, je remarque 3/8 (FGG, GFG, GGF), et donc .
Mais ça me paraît beaucoup quand même...

Niveau méthodologie, mon raisonnement intuitif me paraît faux et niveau sens de la réponse ma réponse calculatoire me paraît également fausse....


Problème 2 :

On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'elles forment un black jack (un as et une figure ou un dix)? Calcule cela de deux manières, directement en comptant le nombre de paires de cartes et avec la formule de multiplication () en considérant l'expérience comme étant constituée de deux tirages successifs.

Pour la manière directe, je calcule le nombre totale de paires possibles qui est (en faisant juste cette fois ). Le nombre de paires recherchées est (4 cartes (10, V, D, R) fois quatre couleurs fois quatre as à attribuer), donc la proba voulue est .

Ensuite, la proba conditionnelle, ça se complique. Je nomme A="Tirer un as" et B="Tirer un 10/V/D/R".
Je calcule .
J'ai , donc , ce qui me paraît bien logique.

Mais après comment relier à ?
J'ai bien essayer d'additionner les deux probas conditionnelles, mais , c'est toujuours pas ça...

Le plus rageant, c'est que , donc la base est bonne, je n'arrive pas à finir!


Problème 3 :

Montrer que pour des événements qui s'excluent mutuellement.

Ça m'a eu l'air simple du premier coup d'œil, mais finalement, je sais pas comment procéder pour y arriver...

J'ai commencé ... Mais après je ne sais pas comment transformer en somme... À moins qu'il eut fallu commencer par pour arriver à l'autre membre de l'égalité...
Je m'égare :S

Problème 4 :

On cherche la formule avec un nombre croissant d'événements pour la formule de multiplication.

Pour 4 événements, j'ai trouvé . J'ai bien compris comment ça marchait, mais alors pour généraliser la formule au nombre n d'événements, j'ai eu de la peine... Mais je suis arrivé à quelque chose, je vous demande vos avis :

, avec .

Il me semble que ça va.

Mais ensuite il faut la démontrer par récurrence

En allant tout de suite au passage de la preuve de (ce qui est dur en somme), je trouve avec ma formule :

... Mais après je sais pas trop comment avancer qu'en finissant par un tombé de nul part ^^.

Voilà, j'ai tout dit!

En espérant que ce sera assez lisible!

(Peut-être indiquez juste de quel problème vous parlez quand vous répondez )

Très Cordialement
-----

[gg0]

Bonjour.

Trois problèmes, c'est beaucoup ! Voyons le premier :

Ton raisonnement "intuitif" est malsain, car tu oublies que l'ordre intervient ici; ce n'est pas la même chose que la fille dont on parle soit l'ainée ou la cadette.
Par contre, intuitivement, le fait qu'il y ait une fille enlève sur les 8 possibilités le cas GGG. Il reste donc un univers de 7 cas équiprobables, dont 3 répondent à la condition (GGF, GFG, FGG). Tu as le bon résultat.
Tu remarqueras que ton calcul en "conditionnel" suit étroitement ce que j'ai fait plus haut ! Les probas conditionnelles sur de petits univers finis avec équiprobabilité, ça n'est pas utile.
Autre remarque : Cette question, qui a fait des longs débats sur les revues puis forums mathématiques, est difficile à concrétiser. On suppose qu'on n'a comme connaissance que l'existence d'au moins une fille, sans rien savoir sur la famille d'autre que le nombre d'enfants. C'est généralement ce point qui peut faire débat. Mais il est des cas où c'est possible (un homme qui vient de noter sur un document administratif qu'il a 3 enfants et parle de sa fille Camille).

Je laisse à d'autres la suite ...

[The_Anonymous]

Merci Beaucoup!
J'ai compris votre raisonnement "intuitif" qui n'est finalement pas si dur que ça...
En fait, 3/7 me paraissait beaucoup, mais après un peu plus de réflexion, c'est tout à fait logique
Merci encore

Si quelqu'un a le courage de se pencher sur le(s) problème(s) suivant(s), je lui en serait reconnaissant
Merci d'avance

Cordialement

[ansset]

pour la 2:
tirer 1 As puis tirer un ( R,D,V,10 ) est la même que
tirer un (R,D,V,10) puis un As.

chacune valant (4*16)/(52*51)

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Merci de la réponse!

Je ne suis pas sûr d'avoir tout à fait compris, mais j'ai peut-être compris comment caclculer la probabilité conditionnelle à partir des éléments que j'avais.

Si j'ai bien compris, une fois qu'on a calculé , la probabilité finale recherchée est , ce qui correspond bien avec mon autre raisonnement!

Merci de l'aide ansset!

Reste encore les 2 autres problèmes

Cordialement

[ansset]

le pb 3) n'est que la généralisation formelle du cas concret vu au 2).

[ansset]

pardon, en fait pas exactement.
mais moi et Latex on est pas copains, alors ça risque d'être dur d'expliquer de manière propre ( formelle ) !

[The_Anonymous]

En fait, plus que l'écriture, c'est la méthode que je recherche...

Est-ce mieux de faire une preuve par récurrence? Ou bien de passer par la définition ( ) pour ensuite y arriver?

Je ne sais pas trop comment commencer..

Merci de toute aide!

[gg0]

Pour ton exercice 3,

peux-tu éclaircir la notation (Je ne sais pas de quel événement on cherche la probabilité) ?
Sinon, un rappel : est une probabilité (si F est un événement).

Cordialement.

[The_Anonymous]

x) Désolé, j'aurais dû préciser l'exercice...

En fait, l'exercice (le problème que j'ai exposé n'est qu'une partie de cet exercice) consiste à prouver que la fonction (le \mapsto ne marche pas ^^) est une fonction de probabilité (pour tout événements E et pour F un événement).

J'ai déjà prouver que et que (j'ai lu qu'on disait aussi ).
Il me reste la dernière partie, qui est donc , car, dans mon cours en tous cas, un des axiomes de probabilité est que .
Je suppose que le nombre d'événements n'a pas grand importance dans la preuve (à moins qu'il faille la faire par récurrence).
Mais je ne sais donc pas trop comment faire pour passer d'un membre à l'autre, à part utiliser la définition que j'ai de la probabilité conditionnelle, à savoir , mais après je sais pas...

Merci d'avance pour les conseils !

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Tu ne réponds pas à ma question. D'ailleurs :

un des axiomes de probabilité est que .

est peut-être une façon bien compliquée (avec une notation que je ne connais pas) de dire :
Si est une suite d'événements incompatibles, alors .

La preuve est immédiate, car la somme divisée par est la somme des .

J'ai un peu l'impression que la notation t'a caché la simplicité de la preuve.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Bonjour.

Tu ne réponds pas à ma question. D'ailleurs :

est peut-être une façon bien compliquée (avec une notation que je ne connais pas) de dire :
Si est une suite d'événements incompatibles, alors .

La preuve est immédiate, car la somme divisée par est la somme des .

J'ai un peu l'impression que la notation t'a caché la simplicité de la preuve.

Cordialement.

Pour ce qui est de n'avoir pas répondu à votre question dans #10, je suis extrêmement désolé. En lisant un peu trop vite, j'ai lu "notion" au lieu de "notation", ce qui m'a donc fait penser que vous vouliez que j'explique plus le contexte de la preuve x)

Mais oui, ce signifie l'union de "choses" (désolé pour cette inprécision languagière) dont l'intersection est l'ensemble vide (disjointes sauf erreur) (D'façon, j'vais pas vous apprendre quelque chose à vous x) ).

Sinon, je pense avoir compris... Pour tous ces des événements disjoints :

, en utilisant deux fois la définition (de la probabilité conditionnelle).

Merci beaucoup de l'aide !

(Corrigez moi si quelque chose est faux x) )

Plus qu'un

Cordialement