Probabilité conditionnelle

[invite896b79a7]

Bonjour tout le monde,

Un petit problème de probabilité conditionnelle s'énonçant ainsi:

Dans un teste de déchéance, on rejette l'ensemble des pièces si les cents pièces prélevés de celui-ci contenait au moins une pièce défectueuse parmi cinq Quelle est donc la probabilité de rejeter l'ensemble si on savait que 5% des pièces sont défectueuses ?

Pouvez vous me donner quelques éléments de réponse ?
Je voudrais déjà comprendre par exemple, est-ce que un parmi cinq dans les cents pièce signifie 20%, c'est à dire 20 pièces au moins parmi les cents ?
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[invite35452583]

Bonjour tout le monde,

Un petit problème de probabilité conditionnelle s'énonçant ainsi:


Pouvez vous me donner quelques éléments de réponse ?
Je voudrais déjà comprendre par exemple, est-ce que un parmi cinq dans les cents pièce signifie 20%, c'est à dire 20 pièces au moins parmi les cents ?

Non, si on testait toutes les pièces pourquoi s'embêter on met les bonnes d'un côté les mauvaises de l'autre. Et laisser passer 19 pièces fausses sciemment ?
Non, ici, sur un lot de 100 pièces, on en prélève 5.
On teste les 5 pièces.
si les 5 sont bonnes on garde les 100
si une est mauvaise on jette les 100.

[invitec5eb4b89]

Bonjour tout le monde,

Un petit problème de probabilité conditionnelle s'énonçant ainsi:


Pouvez vous me donner quelques éléments de réponse ?
Je voudrais déjà comprendre par exemple, est-ce que un parmi cinq dans les cents pièce signifie 20%, c'est à dire 20 pièces au moins parmi les cents ?

Je comprends le problème d'une manière un peu différente de celle d'homotopie.

Sur un "lot" de N pièces, on en prélève 100 pour lesquelles on teste la qualité. Si sur ces 100 pièces tirées parmi N, on en trouve plus de 20 défectueuses, alors on met le lot à la poubelle.

Maintenant, pour un exemple où l'on connait la probabilité pour une pièce d'être défectueuse (p=0.05), on peut calculer la probabilité que, sur 100 controles, plus de 20 soient négatifs.

Bon courage,
V.

[invite35452583]

Je comprends le problème d'une manière un peu différente de celle d'homotopie.

Sur un "lot" de N pièces, on en prélève 100 pour lesquelles on teste la qualité. Si sur ces 100 pièces tirées parmi N, on en trouve plus de 20 défectueuses, alors on met le lot à la poubelle.

Maintenant, pour un exemple où l'on connait la probabilité pour une pièce d'être défectueuse (p=0.05), on peut calculer la probabilité que, sur 100 controles, plus de 20 soient négatifs.

Bon courage,
V.

Préciser ainsi en effet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite896b79a7]

Mais les deux raisonnements sont différents: dans l'un, il ne faut qu'il n y ait aucune mauvaise pièce parmi les cinq tirées pour garder le tout, dans l'autre, il faut qu'il n'y ait que 19 au plus pour le garder.

De plus, si le premier raisonnement était le bon, pourquoi dire qu'on prélève cent pièces de l'ensemble, en suite cinq autre qu'on va tester ? le premier détail est inutile.

Mais si c'est le second raisonnement qui est le bon, alors dans ce cas, pour que 20 parmi 100 soient des pièces défectueuses, sachant que 5% le sont, la probabilité est nulle! ou je me trompe dans mes calcules ?

Merci d'avoir répondu.

[invitea07f6506]

Considère que ton lot de pièces initial est très grand. S'il y a 5% d pièces défectueuses dans celui-ci, alors chaque pièce dans ton échantillon aura une chance sur 20 d'être défectueuse - et ce, indépendamment de l'état des autres pièces. Cela ne veut pas dire que, dans ton échantillon de cent pièces, il y en aura toujours 5 de défectueuses ; il y en aura 5 de défectueuses en moyenne, mais parfois tu en aura un peu moins, parfois un peu plus, parfois beaucoup plus (par exemple : plus de 20 pièces défectueuses).

[invite35452583]

En comprenant l'énoncé "on prend 100 pièces que l'on teste" alors
proba 0 pièce défectueuse = 0,95¹⁰⁰
proba 1 pièce défectueuse=100x0,95⁹⁹x0,05
...
proba n pièces défectueuses=(n parmi 100)x0,95^100-nx0,05ⁿ
proba moins de 19 pièces défectueuses=somme de termes précédents pour n allant de 0 à 19. (On peut peut-être simplifier.)
proba qu'on jette=1-proba précédente

[invite896b79a7]

En comprenant l'énoncé "on prend 100 pièces que l'on teste" alors
proba 0 pièce défectueuse = 0,95¹⁰⁰
proba 1 pièce défectueuse=100x0,95⁹⁹x0,05
...
proba n pièces défectueuses=(n parmi 100)x0,95^100-nx0,05ⁿ
proba moins de 19 pièces défectueuses=somme de termes précédents pour n allant de 0 à 19. (On peut peut-être simplifier.)
proba qu'on jette=1-proba précédente

Et c'est la formule de Poincaré que tu as utilisé ici ? je ne suis pas, pourquoi sommer les proba précédentes ? (est-ce que tu peux m'expliquer par les ensembles comment t'es arrivé à cette formule)

Mais les évènements ici sont-ils indépendants ? si parmi cent, on tirait une, elle a 5/100 de proba pour être défectueuse, et maintenant, si elle l'est, la proba que la suivante le soit aussi diminue normalement, donc devient 4/99, si c'est le cas, ils ne sont pas indépendants ces évènements!

[invite896b79a7]

Ah je vois, mais ici, tu supposes que les évènements sont indépendants.

[invitea07f6506]

Considère que ton lot de pièces initial est très grand. S'il y a 5% de pièces défectueuses dans celui-ci, alors chaque pièce dans ton échantillon aura une chance sur 20 d'être défectueuse - et ce, indépendamment de l'état des autres pièces.

C'est sûrement un génie, le gars qui a écris ça.

Oui, la proba qu'une pièce soit défectueuse est indépendante de l'état des autres pièces. Sinon, on ne pourrait pas utiliser une loi binomiale (=loi somme de variables aléatoires identiques indépendantes suivant une même loi de Bernouilli), et le problème serait trivial ou insoluble selon la façon dont on interprète l'énoncé.

L'explication est dans ma citation. Considère un lot initial de n pièces, contenant exactement 5% de pièces défectueuses.
Proba que la première pièce soit défectueuse : 1/20.
Proba que la seconde pièce soit défectueuse sachant que la première l'est : (n/20-1)/(n-1) = (n-20)/(20n-20)
Proba que la seconde pièce soit défectueuse sachant que la première ne l'est pas : (n/20)/(n-1) = n/(20n-20)
On remarque que pour n grand, la proba que la deuxième pièce soit défectueuse est de 1/20, indépendamment de l'état de la première.

Rappel :
Loi binomiale : P(X=k)=(k parmis n)*p^k*(1_p)^(n-k), pour tout k dans l[0,n]l.
Loi de Bernouilli : P(X=1)=p, P(x=0)=1-p.