Groupe symétrique

[invite694f6e61]

Bonjour!
On fait les groupes cycliques en algèbre et je coince un peu pour trouver les classes à gauche et à droite modulo quelque chose.
Par exemple
On a le groupe Sn et le sous groupe H:={s app. à Sn|s(n)=n}
Comment trouver |Sn:H|, qui est si j'ai bien compris le nombre de classes à gauche modulo H dans Sn ? Il faudrait compter leur nombre:
supposons x,y app. à Sn et (y^-1)*x app. à H, alors xH est une classe à gauche modulo H. Mais comment compter leur nombre? On pourrait prendre l'une des n! permutation de Sn pour x et s'arranger à chaque fois pour que y^-1 ramène n à son point de départ, ie y^-1(x(n))=n, mais il me parrait douteux de dire que |Sn:H|=n!

Ou encore comment trouver les classes à gauche modulo <Cn> (donc l'ensemble Sn/<Cn>) qui est le sous-groupe de Sn engendré par le cycle (1 2 ... n) (et d'ordre n?)

Merci d'avance!..
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[invitebe0cd90e]

Bon, note deja que dans ton premier exemple tu n'as pas de groupes cycliques...

Ensuite, le nombre de classe est tout simplement le cardinal du groupe divisé par le cardinal du sous groupe (en effet, toutes les classes ont par definition la "meme taille" que le sous groupe, puisque elle sont de la forme aH, et elles sont disjointes.) Dans ton premier exemple, H est le groupe de permutations de (1,...,n) qui ne touche pas à n, donc H=S_{n-1}. D'ou Cardinal de H= (n-1)!, donc le nombre de classe est n!/(n-1)! =n...

Je te laisse faire le 2e...

[invite986312212]

message supprimé: remarque inutile

[invite694f6e61]

Ah, donc on applique le théorème de Lagrange pour trouver la cardinalité, effectivement. |G|=|G:H|*|H| C'est vrai que de partir directement de la définition de classe à gauche est déroutant, je pense me débrouiller pour le 2, merci!..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Exactement, et notes au passage qu [G:H] n'est pas seulment le nombre de classes à gauche, mais aussi le nombre de classes à droites. Meme si elles ne sont pas en général identiques, il y a donc autant de classes à gauche que de classe à droite.