Théorème de Grassman

[Edward Elric]

Bonsoir chers amis,je voudrais savoir comment démontrer le théorème de Grassman qui dit"En considérant deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel (E et F)on a dim(E+F)=dim(E)+Dim(F)-dim(E inter F)
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[syborgg]

Bonsoir chers amis,je voudrais savoir comment démontrer le théorème de Grassman qui dit"En considérant deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel (E et F)on a dim(E+F)=dim(E)+Dim(F)-dim(E inter F)

Le coeur de la demonstration c'est de verifier (et c'est tres facile) que le quotient (E+F) / F est isomorphe a F/E F.
Il suffit de savoir pour terminer la preuve que dim (E/F) = dime E -dim(F), ce qui est une consequence du theorme de la base incomplete pour un espace vectoriel (la on utilise de facon essentielle que les scalaires forment un corps, et non pas un anneau quelconque).

[gg0]

Heu ...il y a une preuve plus élémentaire, en complétant une base de E F dans E, puis dans F et montrant qu'en réunissant tous ces vecteurs, on obtient une base de E+F. Bien sûr, c'est moins élégant que de passer par le quotient.

Cordialement.

[syborgg]

Heu ...il y a une preuve plus élémentaire, en complétant une base de E F dans E, puis dans F et montrant qu'en réunissant tous ces vecteurs, on obtient une base de E+F. Bien sûr, c'est moins élégant que de passer par le quotient.

Cordialement.

Ce n'est pas seulement une question d'elegance : a mon sens on comprends mieux ce qu'il se passe avec ma preuve, et comme je disais c'est tres facile et intuitif d'exhiber cet isomorphisme du losange. Ca a l'avantage aussi de pouvoir se generaliser a d'autres structures, modules et groupes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... tout le monde n'a pas les mêmes façons de comprendre. La preuve "avec les mains" est utile à certains. Et elle peut se faire sans avoir vu les espaces vectoriels quotient.
Personnellement, les preuves par utilisation de quotients et d'isomorphisme me plaisent bien, mais ne m'aident pas à comprendre.

Cordialement.

[syborgg]

Oui c'est une question de gouts, Edward Elric nous dira quelle demonstration il prefere.

[syborgg]

Notre ami Edward Elric semble bien peu reconnaissant : ni merci ni au revoir...