Bonjour à tous,
Je me demandais si le rayon de courbure d'une courbe plane dépendant ou non de sa paramétrisation ?
D'un côté le rayon de courbure fait intervenir sa paramétrisation pour être mesurée mais son rayon de courbure ne resterait-il pas le même quelque soit la paramétrisation??
Merci beaucoup et bonne journée,
Bonjour.
Le rayon de courbure peut se définir géométriquement, sans paramétrisation de la courbe (cercle osculateur).
Cordialement.
Bonjour
Si tu es sur une route sinueuse, tu vas faire tourner ton volant en fonction de la trajectoire qui est imposée par la route.
Tu crois vraiment que cela va dépendre de la façon dont tu vas faire les calculs?
pas vu le message de gg0;
Merci, JB2017,
j'avais pensé à cette idée, j'ai préféré autre chose. mais c'est vrai que la façon de tourner du virage ne dépend pas de la façon dont on le parcourt.
Par contre, une mauvaise paramétrisation de la courbe peut empêcher le calcul. Cas limite et absurde : Le point considéré n'est pas atteint !
De plus, certaines courbes n'ont pas de courbure, voire même de tangentes.
Cordialement.
Bonjour,
Merci pour votre réponse mais j'étais à la recherche d'une justification mathématique peut être un peu plus rigoureuse et poussée...
Une justification mathématique va passer par une définition des mots "courbe" et "paramétrisation"; plus le lien avec la courbure .... Donc tu n'as pas posé la bonne question.
Désolé !
Vous avez surement raison tant pis pour moi je resterai sans réponse
gg0 a raison : regarde la definition du rayon de courbure en terme de cercle osculateur, et tu auras ta reponse je crois... d'ailleurs heureusement que le rayon de courbure ne depend pas de la parametrisation, sinon ca serait une notion inutile.Envoyé par lepzorki
tentative de réponse pas très rigoureuse...
Pour obtenir le rayon de courbure, on calcule la dérivée du vecteur tangent à la courbe après l'avoir normalisé à 1. Le vecteur dérivé obtenu a pour norme l'inverse du rayon de courbure.
Pour obtenir le vecteur tangent à la courbe paramétrée, on dérive le point de la courbe par rapport au paramètre. La norme du vecteur tangent peut être n'importe quoi. Au lieu de prendre la dérivée de ce vecteur tangent là (ce qui nous donnerait un truc dépendant du paramètre), on prend la dérivée du vecteur de norme 1 qui lui est colinéaire (cela revient à choisir un paramétrage qui va automatiquement donner un vecteur tangent de norme 1), qui du coup ne dépend pas du paramètre.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Rebonjour
Vu la question initiale la réponse a été donnée.
Mais du point de vu mathématique un simple calcul le montre.
(I,f) et (J,g) 2 paramétrages équivalents d'un arc, il existe un difféomorphisme
Le rayon de courbure est donné par
Mais
En remplaçant et en simplifiant on trouve
Je crois qu'il y'a un
Bonjour
Ici j'ai considéré la courbure algébrique. Le signe dépend donc du sens de parcours.
