Rayon de courbure

[Ravaner]

Bjr à tous. Qui pourrait me donner l'expression du rayon de courbure d'une courbe dans R3 ( dans R2 no problem ). D'avance merci
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[Jeanpaul]

On appelle T le vecteur unitaire tangent et s l'abscisse curviligne.
Alors la dérivée de T par rapport à s est un vecteur perpendiculaire à T dont la longueur est l'inverse du rayon de courbure.
(C'est normal de trouver que c'est l'inverse car dT/ds est homogène à 1/L)

[Ravaner]

Merci pr ta réponse, mais ma question concernait l'expression littérale du rayon de courbure en fonction de x',y',z',x",y",z" avec probablement un exposant 3/2 au numérateur du style (x'²+y'²+z'²)^3/2 / (y"x'-y'y" + ... )

[Jeanpaul]

Si tu veux. Supposons que x, y et z soient fonction du paramètre u.
Alors ds/du = racine (x'²+y'²+z'²) (dérivées par rapport à u)
et la tangente T a pour composantes dx/ds, dy/ds, dz/ds
La normale a pour composantes d²x/ds², etc.. et le rayon de courbure est l'inverse de la norme de ce vecteur.
Reste à calculer
dx/ds = dx/du . du/ds (ce dernier donné ci-dessus)
d'où
d²x/ds² = d²x/du².du/ds + dx/du.d²u/ds²
Il manque d²u/ds² que tu trouves en disant que
du/ds = 1/(ds/du)
et d²u/ds² = d(du/ds)/du . du/ds
et tu auras le rayon de courbure avec tes puissances 3/2
C'est un peu lourd à écrire quand même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mécano41]

Bonjour,

J'ai cela dans un formulaire :



où : représente

(ne me demande pas d'explications sauf pour éventuellement vérifier si je ne me suis pas trompé en recopiant, car je serais incapable de t'en donner !)

Cordialement

[Ravaner]

Merci pour vos réponses. La formule indiquée correspond bien au résultat de mes calculs ce qui me rassure. Joyeuses fêtes...