Bonjour, j'ai deux questions concernant les déterminants. La premiere : je n'arrive pas a demontrer que le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des determinants des matrices blocs de la diagonale.
La seconde : j'aimerais que quelqu'un m'explique comment établir la formule d'un déterminant de cauchy. On trouve cela ici par exemple:
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_de_Cauchy
Merci d'avance.
Salut,
commence par établir que si, alors D=det A.det C (avec A de taille k x k, et C de taille (n-k) x (n-k)) : ça se fait bien par récurrence sur k, et en développant selon la première colonne.
Ton résultat s'ensuit par récurrence à nouveau.
Je regarde pour le déterminant de Cauchy.
Cordialement.
Re,
je propose une solution por le déterminant de Cauchy : les autres commenteront ou corrigeront...
On commence par éliminer les dénominateurs en multipliant le déterminant
Je pose maintenant
P est un polynôme à 2n indéteminées. La lecture de D montre clairement que si
Reste à montrer que Q=1 : si l'on considère P et Q comme des polynômes en
J'espère que je n'ai pas laissé trop de flou artistique...
Cordialement.
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Cela m'a l'air interessant mais je ne comprends pas toutes tes notations : qu'appelles tu D , X et Y ??
Par ailleurs je ne parviens pas a aboutir la démonstration (determinants par blocs) que tu me suggeres. Pour l'hérédité je me retrouve, apres avoir développé par rapport a la premiere colonne, avec une somme de déterminants n,n qui sont (H.R.) tous de la forme det(Ak)*det(Ck) mais les Ak et Ck varient...
Si on utilise la fait que le déterminant est le produit des valeurs propres, ça passe tout seul non ?Envoyé par Gpadide
On ne sait a priori rien sur la matrice (pas forcément trigonalisable...)
1. Pas besoin de trigonaliser! Les valeurs propres de la matrice sont la réunion des valeurs propres des blocs, ce qui découle facilement de la définition de valeur propre et de l'écriture diagonale par bloc.
2. Si tu travailles sur R ou C, on peut toujours faire une trigonalisation sur C.
Sur un corps K en général, peut on toujours définir un corps algébriquement clos pour tenir ce genre de raisonnement ?
Salut,
le théorème de Steinitz affime en effet que tout corps commutatif admet une clôture algébrique.
Cordialement.
La demo est faisable en MP ? J'en trouve pas sur le net.
A cœur vaillant rien d'impossible, mais si c'est juste pour montrer que « le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des determinants des matrices blocs de la diagonale », c'est utiliser un bulldozer pour ouvrir une noix.La demo est faisable en MP ? J'en trouve pas sur le net.
Du reste, on a besoin (si mes souvenirs sont bons) de l'axiome du choix pour démontrer le théorème de Steinitz (ce qui n'est pas un problème en soi, mais celà montre bien que la démonstration n'est pas triviale).
Cordialement.
Bonjour,
c est le festival au bulldozer
a) Le théorème de Steitniz (c est le moins "buldozer")
1)définir les polynômes irréductibles
2) on en prend de manière abstraite les racines
3) on prend l union de tout ça
et on montre que ça marche sans axiome du choix
b) si on a besoin de factorise un polynôme on prend le corps de décomposition, nul besoin de prendre une clôture algébrique (les résultats obtenues avec Z[i], certes c est un exemple sur anneau mais c est un exemple classique, ne le seraient pas tous sur les entiers algébriques)
c) détminant d une matrice par blocs= produit des déterminants des blocs n a heureusement pas besoin de toute cette artillererie
pour deux blocs:
f=g+h (somme directe) g et h restrictions aux deux sev (évidents)
f=(g+id)(id+h)
det(f)=det(g+id)dét(id+h)
Je laisse le soin de bien réécrire ce principe tout simple (les calculs des déterminants par blocs du membre de gauche sont alors triviaux)
Au fait bravo Martini_bird pour les déterminants de Cauchy.
Salut,
Ok merci pour la précision. Et pour l'unicité de "la" clôture algébrique, ça peut aussi se faire sans l'axiome du choix ?a) Le théorème de Steitniz (c est le moins "buldozer")
1)définir les polynômes irréductibles
2) on en prend de manière abstraite les racines
3) on prend l union de tout ça
et on montre que ça marche sans axiome du choix
Merci d'avoir validé la démo.Au fait bravo Martini_bird pour les déterminants de Cauchy.
Bonne journée !
Salut,
tu sais quoi? j'ai tout d'un coup un énorme doute s'il faut l'AC ou pas pour construire la clôture.
Néanmoins et c'est là-dessus que je trouvais que la sortie du buldozzer était un peu poussé, c'est que le corps de décomposition (qui lui n'a certainement pas besoin de l'AC) suffit largement. Cette méthode reste de toute façon un peu buldozzer comme tu l'as fait remarquer.
Bonnes fêtes
Salut,
tu sais quoi? j'ai tout d'un coup un énorme doute s'il faut l'AC ou pas pour construire la clôture.
De fait, dans toutes les démos que j'ai pu lire, il s'agit de construire un gros anneau avec toutes les racines dont on a besoin puis de quotienter : reste à voir si l'on est obligé d'utiliser l'axiome du choix pour trouver un idéal maximal qui va bien... (je n'ai pas d'idée sur le sujet)
Cordialement.
Utiliser la formule du produit par blocs suivante
