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Déterminants



  1. #1
    Gpadide

    Déterminants


    ------

    Bonjour, j'ai deux questions concernant les déterminants. La premiere : je n'arrive pas a demontrer que le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des determinants des matrices blocs de la diagonale.

    La seconde : j'aimerais que quelqu'un m'explique comment établir la formule d'un déterminant de cauchy. On trouve cela ici par exemple:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_de_Cauchy

    Merci d'avance.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : Determinants

    Salut,

    commence par établir que si , alors D=det A.det C (avec A de taille k x k, et C de taille (n-k) x (n-k)) : ça se fait bien par récurrence sur k, et en développant selon la première colonne.

    Ton résultat s'ensuit par récurrence à nouveau.

    Je regarde pour le déterminant de Cauchy.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    martini_bird

    Re : Determinants

    Re,

    je propose une solution por le déterminant de Cauchy : les autres commenteront ou corrigeront...

    On commence par éliminer les dénominateurs en multipliant le déterminant par de sorte que le terme général est maintenant



    Je pose maintenant


    P est un polynôme à 2n indéteminées. La lecture de D montre clairement que si ou avec , alors P=0. Pour , les facteurs et divisent donc P. On a ainsi


    Reste à montrer que Q=1 : si l'on considère P et Q comme des polynômes en par exemple*, on constate qu'ils sont tous deux de degré n-1. Q est donc constant et en assignant des valeurs bidons à , on doit pouvoir montrer que Q=1.

    J'espère que je n'ai pas laissé trop de flou artistique...

    Cordialement.

    *
    Dernière modification par martini_bird ; 19/12/2006 à 05h40.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    Gpadide

    Re : Determinants

    Cela m'a l'air interessant mais je ne comprends pas toutes tes notations : qu'appelles tu D , X et Y ??
    Par ailleurs je ne parviens pas a aboutir la démonstration (determinants par blocs) que tu me suggeres. Pour l'hérédité je me retrouve, apres avoir développé par rapport a la premiere colonne, avec une somme de déterminants n,n qui sont (H.R.) tous de la forme det(Ak)*det(Ck) mais les Ak et Ck varient...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    edpiste

    Re : Determinants

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Bonjour, j'ai deux questions concernant les déterminants. La premiere : je n'arrive pas a demontrer que le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des determinants des matrices blocs de la diagonale.
    Si on utilise la fait que le déterminant est le produit des valeurs propres, ça passe tout seul non ?

  8. #6
    Gpadide

    Re : Determinants

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Si on utilise la fait que le déterminant est le produit des valeurs propres, ça passe tout seul non ?
    On ne sait a priori rien sur la matrice (pas forcément trigonalisable...)

  9. Publicité
  10. #7
    edpiste

    Re : Determinants

    1. Pas besoin de trigonaliser! Les valeurs propres de la matrice sont la réunion des valeurs propres des blocs, ce qui découle facilement de la définition de valeur propre et de l'écriture diagonale par bloc.
    2. Si tu travailles sur R ou C, on peut toujours faire une trigonalisation sur C.

  11. #8
    Gpadide

    Re : Determinants

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    2. Si tu travailles sur R ou C, on peut toujours faire une trigonalisation sur C.
    Sur un corps K en général, peut on toujours définir un corps algébriquement clos pour tenir ce genre de raisonnement ?

  12. #9
    martini_bird

    Re : Determinants

    Salut,

    le théorème de Steinitz affime en effet que tout corps commutatif admet une clôture algébrique.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #10
    Gpadide

    Re : Determinants

    La demo est faisable en MP ? J'en trouve pas sur le net.

  14. #11
    martini_bird

    Re : Determinants

    La demo est faisable en MP ? J'en trouve pas sur le net.
    A cœur vaillant rien d'impossible, mais si c'est juste pour montrer que « le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des determinants des matrices blocs de la diagonale », c'est utiliser un bulldozer pour ouvrir une noix.

    Du reste, on a besoin (si mes souvenirs sont bons) de l'axiome du choix pour démontrer le théorème de Steinitz (ce qui n'est pas un problème en soi, mais celà montre bien que la démonstration n'est pas triviale).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #12
    homotopie

    Re : Déterminants

    Bonjour,
    c est le festival au bulldozer
    a) Le théorème de Steitniz (c est le moins "buldozer")
    1)définir les polynômes irréductibles
    2) on en prend de manière abstraite les racines
    3) on prend l union de tout ça
    et on montre que ça marche sans axiome du choix

    b) si on a besoin de factorise un polynôme on prend le corps de décomposition, nul besoin de prendre une clôture algébrique (les résultats obtenues avec Z[i], certes c est un exemple sur anneau mais c est un exemple classique, ne le seraient pas tous sur les entiers algébriques)

    c) détminant d une matrice par blocs= produit des déterminants des blocs n a heureusement pas besoin de toute cette artillererie

    pour deux blocs:
    f=g+h (somme directe) g et h restrictions aux deux sev (évidents)
    f=(g+id)(id+h)
    det(f)=det(g+id)dét(id+h)
    Je laisse le soin de bien réécrire ce principe tout simple (les calculs des déterminants par blocs du membre de gauche sont alors triviaux)

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  17. #13
    homotopie

    Re : Déterminants

    Au fait bravo Martini_bird pour les déterminants de Cauchy.

  18. #14
    martini_bird

    Re : Déterminants

    Salut,

    a) Le théorème de Steitniz (c est le moins "buldozer")
    1)définir les polynômes irréductibles
    2) on en prend de manière abstraite les racines
    3) on prend l union de tout ça
    et on montre que ça marche sans axiome du choix
    Ok merci pour la précision. Et pour l'unicité de "la" clôture algébrique, ça peut aussi se faire sans l'axiome du choix ?

    Au fait bravo Martini_bird pour les déterminants de Cauchy.
    Merci d'avoir validé la démo.

    Bonne journée !
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  19. #15
    homotopie

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    Ok merci pour la précision. Et pour l'unicité de "la" clôture algébrique, ça peut aussi se faire sans l'axiome du choix ?
    Salut,
    tu sais quoi? j'ai tout d'un coup un énorme doute s'il faut l'AC ou pas pour construire la clôture.
    Néanmoins et c'est là-dessus que je trouvais que la sortie du buldozzer était un peu poussé, c'est que le corps de décomposition (qui lui n'a certainement pas besoin de l'AC) suffit largement. Cette méthode reste de toute façon un peu buldozzer comme tu l'as fait remarquer.

    Bonnes fêtes

  20. #16
    martini_bird

    Re : Déterminants

    Salut,

    tu sais quoi? j'ai tout d'un coup un énorme doute s'il faut l'AC ou pas pour construire la clôture.
    Du coup j'ai regardé ce matin la preuve pour démontrer l'existence d'une clôture algébrique, que j'ai reformulée ici (arme-toi d'un peu de patience si le site renvoie une erreur, c'est dû à free...).

    De fait, dans toutes les démos que j'ai pu lire, il s'agit de construire un gros anneau avec toutes les racines dont on a besoin puis de quotienter : reste à voir si l'on est obligé d'utiliser l'axiome du choix pour trouver un idéal maximal qui va bien... (je n'ai pas d'idée sur le sujet)

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  21. #17
    epsilon0

    Re : Déterminants

    Utiliser la formule du produit par blocs suivante

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