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Déterminants



  1. #1
    Bleyblue

    Déterminants


    ------

    Bonjour,

    Je voudrais savoir, le déterminant d'une matrice qui n'est pas carrée ça n'a aucun sens ? En tout cas moi je n'en ai jamais entendut parler ...

    Sinon, est-il exacte que le déterminant de deux matrices transposée sont identiques ? Pour le démonter il suffit de prendre deux matrices carrées :

    M =
    ** **
    *A B C*
    *D E F*
    *G H I*
    ** **

    Mt =

    ** **
    *A D G*
    *B E H*
    *C F I*
    ** **

    de calculer les deux déterminants et de constater que c'est égale (à l'ordre des termes près bien sûr) ?

    merci

    -----
    Dernière modification par Bleyblue ; 13/08/2005 à 22h42.

  2. #2
    evariste_galois

    Re : Déterminants

    Le déterminant d'une matrice non carrée n'a pas de sens, au même titre que l'inverse d'une matrice non carrée (inversion et déterminant étant évidemment liés).

    Pour le déterminant de la transposée d'une matrice carrée A, en notant tA cette transposée, il me semble que A et tA sont semblables à cause de je ne sais plus quel changement de base.

    Donc il existe P inversible tel que tA=P*A*P^-1, et par les propriétés du déterminant det(tA)=det(A) .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  3. #3
    phenomene

    Re : Déterminants

    Bonsoir,

    En effet, le déterminant n'est défini que pour les matrices carrées. Et il est vrai que le déterminant de la transposée d'une matrice est égal au déterminant de cette matrice. La démonstration n'est pas difficile mais demande de connaître une définition du déterminant pour toute taille de la matrice, si on veut être général, alors que ton message suggère de travailler uniquement en dimension 3...

  4. #4
    Bleyblue

    Re : Déterminants

    Ah ok.

    Mais si on sait calculer le déterminant en dimension 3 on sait le faire pour toute dimension il me semble non ?

    merci !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    e.elmahdi

    Re : Déterminants

    Bonsoir.
    Cela dépend de la façon avec laquelle tu le calcules pour l'ordre trois, si tu le fais avec "sarius" et bien pas d'éspoir pour la généraliser à n'importe quel ordre, il te faut connaitre la définition du déterminant.
    Je n'ai pas un moyen pour te l'écrire mais c'est la somme sur l'ensemble des permutations sur [1,n] des produits Ai(p(i)) avec Aij le coefficient de la ième ligne jème colone et p(i) l'image de i par une permutetion p....
    Si quelqu'un a de quoi nous l'écrire meci d'avance!

  7. #6
    LocalStone

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais si on sait calculer le déterminant en dimension 3 on sait le faire pour toute dimension il me semble non ?
    Après une première année de Math Sup, je peux te répondre ... Oula non.
    En fait, je crois que toi, tu calcules le déterminant avec la ruse de Sarus (ou Sarrus ou une autre orthographe). C'est une formule toute bête (voire un moyen mémotechnique) pour calculer les déterminant des matrices carrés de dimension 3.
    Mais en fait, un determinant, c'est VRAIMENT bien plus compliqué que ça, et il n'y a pas (en tout cas à ma connaissance) de formule toute faite pour en calculer un pour une matrice carré de dimension n. Au mieux, il y a des moyens algorithmiques ... Je pense à la réduction de Gauss. Ou tu as encore d'autres moyens. C'est pas compliqué et les calculs reviennent à multiplier et additionner ... Mais c'est long et chiant.
    Enfin en résumé, c'est parce que tu sais trouver le determinant d'une matrice 3x3 que tu sais trouvé le determinant de toutes les matrices.
    Juste un dernier petit truc ... Si je me souviens bien, un determinant, c'est un invariant (au même titre que la trace d'une matrice). Et c'est pour ça (enfin c'est pas pour ça ... Mais l'invariance découle de ces propriétés ... Je crois ...) que le determinant de la transposé et de la réduite de Gauss est le même que celui de la matrice de départ.
    J'aime étaler ma science ...
    Dernière modification par LocalStone ; 13/08/2005 à 23h48.

  8. #7
    Sephi

    Re : Déterminants

    Oui, la règle de Sarrus, qui consiste à ajouter et soustraire des produits d'éléments diagonaux d'une matrice, n'est valable que pour les matrices carrées de dimension inférieure ou égale à 3.

    En dimension quelconque, il faut exploiter le fait que le déterminant d'une matrice est invariant sous certaines opérations entre les lignes/colonnes des matrices, ce qui nous permet de les utiliser pour calculer le déterminant ... Il y a aussi d'autres méthodes, comme "développer le déterminant selon une ligne/colonne", ce qui permet de se ramener au calcul de déterminants de matrices d'une dimension inférieure. C'est ce que j'utilise généralement pour les déterminants de matrices 4x4.

  9. #8
    green14

    Re : Déterminants

    Ca a l'air trop interessant mais je ne comprends rien a tout ce que vous racontez (je sors de terminale...).

    Est-il possible d'expliquer a un debutant ce a quoi correspond une matrice et comment ca fonctionne ?

    Merci...
    Dernière modification par green14 ; 14/08/2005 à 01h20.

  10. #9
    evariste_galois

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Pour le déterminant de la transposée d'une matrice carrée A, en notant tA cette transposée, il me semble que A et tA sont semblables à cause de je ne sais plus quel changement de base.

    Donc il existe P inversible tel que tA=P*A*P^-1, et par les propriétés du déterminant det(tA)=det(A) .
    Plus précisement, soit A la matrice d'une application linéaire dans une base (e1,e2,...,en). Alors, dans la base (en,en-1,..,e1), tA est la matrice de f. Si quelq'un peut confirmer, j'ai très peu de souvenirs de cette partie du cours.

    Après, puisqu'on vient de voir que A et tA sont semblables, il existe P inversible telle que det(tA)=det(P*A*P^-1)=det(P)*det(A)*det(P^-1)=det(P*P^-1)*det(A)=det(A) .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  11. #10
    evariste_galois

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par green14
    Ca a l'air trop interessant mais je comprends rien a tout ce que vous raconter (je sors de terminale...).

    C'est possible d'expliquer a un debutant ce a quoi correspond une matrice et comment ca fonctionne ?

    Merci...
    Pour une description rigoureuse de ce qu'est une matrice, direction http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice...%A9matiques%29

    Une petite recherche sur le forum devrait s'avérer très fructueuse, puisque la définition d'une matrice a été donnée maintes fois sur le forum.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  12. #11
    Sephi

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par green14
    Ca a l'air trop interessant mais je ne comprends rien a tout ce que vous racontez (je sors de terminale...).

    Est-il possible d'expliquer a un debutant ce a quoi correspond une matrice et comment ca fonctionne ?

    Merci...
    Mmm de mon temps, on voyait une introduction aux matrices une année avant la terminale ...

  13. #12
    green14

    Re : Déterminants

    Les choses ont changées...

    Je n'avais pas la moindre idée de ce a quoi ca correspondait...

    Ca m'a l'air un peu compliqué mais super interessant...merci pour le site...

  14. #13
    Bleyblue

    Re : Déterminants

    Eh bien moi c'est comme Sephi, j'ai vu les matrices une année avant la terminale (et je suis sorti de terminale l'an passé donc ...)

    Citation Envoyé par Sephi
    Il y a aussi d'autres méthodes, comme "développer le déterminant selon une ligne/colonne", ce qui permet de se ramener au calcul de déterminants de matrices d'une dimension inférieure
    Oui c'est cette méthode que j'utilise.
    Il me semble que c'est valables pour toute matrice carrée non (même si les calculs on une fâcheuse tendance à s'allonger) ?

    Donc en fait si M est une matrice carée le dét M = Somme de tout les éléments d'une ligne ou d'une colonne mutiplié chacun par son cofacteur.
    Le cofacteur d'un élément a étant égale à multiplié par le déterminant de la sous matrice (= matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne de a

    Je ne savais pas qu'il y avait d'autres méthodes ...

    merci

  15. #14
    arnaudmattei

    Re : Déterminants

    Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice?
    D'abord on commence par définir le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base:

    " Soit B=(e1, ... , eN) une base de E.
    Il existe une unique forme n-linéaire alternée sur E, t.q. f(e1,...,eN)=1. On note detB(u1,...,uN)=f(u1,...,uN) "

    Qu'est-ce que une forme n-linéaire alternée? Chiant à écrire!
    Pour tout p variant de 1 à N, x->f(u1,...,uP-1, x, uP+1, ...uN) est linéaire, et si uI=uJ alors f(truc)=0 si i différent de j.

    Après le déterminant d'une matrice c'est le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de K^n...

    On le calcule de diverses manières.
    La plus pourrie est de développer suivant une rangée, mais ce n'est efficace qu'après moultes simplifications, lorsque la matrice est devenue bien vide (on utilise des propriétés élémentaires des déterminants...)

  16. #15
    arnaudmattei

    Re : Déterminants

    On peut aussi utiliser que c'est le produit des valeurs propres si A est scindé (c'est toujours le cas pour K=C car ce corps est algébriquement clos), mais ce n'est que si tu connais les valeurs propres, ie les N t.q. il existe x NON NUL vérifiant f(x)=Nx, ce qui est plus long à calculer de toute façon!

  17. #16
    Bleyblue

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par arnaudmattei
    (on utilise des propriétés élémentaires des déterminants...)
    Ah oui pour simplifier un peu les calculs.

    Mais a priori c'est une méthode qui fonctionne tout le temps non ?

    merci

  18. #17
    arnaudmattei

    Re : Déterminants

    Bien entendu qu'elle fonctionne tout le temps!

    mais en général on a bien du mal à exprimer les cofacteur...

    Donc il faut par exemple que, dans la ligne, tous les termes soient nuls, sauf un ou deux non nuls,
    et que cela conduise à une récurrence, ou une pseudo-récurrence.

    Sinon il y a d'autres astuces:
    par exemple on introduit une variable X partout pour utiliser en général un polynome de degré 1, dont on évalue la valeur en 2 points seulement et c'est dans la poche...

    En fait, achète le Méthodix, tout est expliqué....

  19. #18
    Bleyblue

    Re : Déterminants

    merci bien

  20. #19
    Ithilian_bzh

    Re : Déterminants

    Session de rattrapage pour ceux qui n'achèteront pas le Méthodix :

    - Un cas favorable de développement par rapport à un ligne-colonne est le cas où la somme des termes des lignes-colonnes est identique ; dans ce cas on remplace la première ligne-colonne par la somme des autres, on factorise par la somme, puis on soustrait la première ligne-colonne aux autres pour obtenir 1-00000 en ligne ou colonne, puis on développe...
    - Dans le cas d'une matrice par blocs, on tente de se ramener par des moyens divers à une matrice trigonale par blocs, le déterminat est alors le produit des blocs diagonaux.

    Et encore d'autres sûrement... Il y a tellement de méthodes spécifiques selon les déterminants...
    Astronome ingénieur alternatif

  21. #20
    GuYem

    Re : Déterminants

    Bonjour.

    En utilisant le développement des determinants sur les lignes et colonnes, on peut ramener le calcul de n'importe quel determinant à des calculs de determinants de dimension 3, 2 ou même 1 si on chipote.

    De plus pour voir que le determinant d'une matrice et sa transposée sont égaux il me semble bien couillu d'utiliser le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables puisque ce résultat se trouvez bien aprés la théorie des determinants! (modules sur un anneau principal et tout le tintouin...)

    Il vaut bien mieux regarder la définition de base du determinant : soit une matrice. On pose


    (avec le groupe des permutations d'un ensemble à n éléments et pour dans , est sa signature)
    La dessus on voit "facilement" que si on remplace A par sa transposé le determinant reste inchangé.
    Dernière modification par GuYem ; 15/08/2005 à 12h18.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  22. #21
    evariste_galois

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par GuYem
    De plus pour voir que le determinant d'une matrice et sa transposée sont égaux il me semble bien couillu d'utiliser le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables puisque ce résultat se trouvez bien aprés la théorie des determinants! (modules sur un anneau principal et tout le tintouin...)
    Avant d'étudier les déterminants, on étudie en principe les matrices et les bases sur un espace vectoriel. Cela suffit largement à démontrer qu'une matrice et sa transposée sont semblables, cf la pseudo-démonstration que j'ai faite dans un de mes messages précédents (qu'apparemment tu n'as pas pris le temps de lire).

    Pas besoin de faire appel à un quelconque A-module !
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  23. #22
    GuYem

    Re : Déterminants

    J'ai lu ton message Evariste
    Le fait qu'une matrice est sa transposée sont semblables est vrai, et l'égalité des determinants en découle comme tu l'as montré. Cependant pour montrer cette similitude il faut faire appel à des trucs assez forts (module sur un anneau principaux par exemple, même si il y a plus simple).

    Si A est la matrice d'une application lineaire f dans une base e1, ... , en alors la matrice de f dans la base en, ... , e1 n'est pas la transposé de A. C'est autre chose de plus tordu. On le voit facile en dimension 2 :

    |a b|
    |c d|

    a pour transposée

    |a c|
    |b d|

    alors que la matrice dont tu parles est

    |d c|
    |b a|

    (cependant elles ont toutes le même determinant évidemment )
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  24. #23
    evariste_galois

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par GuYem
    Si A est la matrice d'une application lineaire f dans une base e1, ... , en alors la matrice de f dans la base en, ... , e1 n'est pas la transposé de A. C'est autre chose de plus tordu.
    Tu as tout à fait raison, j'ai dit une grosse bêtise, désolé .

    En fait, si A représente l'application linéaire f par rapport à 2 bases, alors tA représente la matrice de la transposée de f par rapport aux bases duales.

    C'est bon à savoir, surtout que je n'ai pas encore étudié la notion de dualité (mais un prof de td m'a gentillement expliqué ce que c'était).

    En tout cas, merci pour la rectification.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  25. #24
    arnaudmattei

    Re : Déterminants

    tA c'est pas la matrice de l'adjoint?

  26. #25
    Quinto

    Re : Déterminants

    Non tA n'est pas l'adjoint mais la transposée.
    L'adjoint peut correspondre à la transposée.

  27. #26
    GuYem

    Re : Déterminants

    Citation Envoyé par Quinto
    Non tA n'est pas l'adjoint mais la transposée.
    L'adjoint peut correspondre à la transposée....

    ... par exemple quand on prend le produit scalaire canonique.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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