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Fonction multiforme



  1. #1
    g_h

    Fonction multiforme


    ------

    Bonjour,

    Je me posais une question, après avoir lu l'énoncé d'un exo : est-ce qu'une fonction multiforme f : E -> F, telle que tout élément de F ait au moins un antécédent par f dans E est une surjection ?

    Je n'ai rien trouvé sur le net...


    Merci beaucoup !

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Fonction multiforme

    Salut,

    par fonction multiforme, tu entends une fonction qui prend plusieurs valeurs?
    Cette notion peut être reformulée en voyant f comme une vraie fonction E → P(F) de E dans les parties de F.

    Mais je ne vois pas vraiment comment attacher la notion de surjection à une fonction multiforme.

    Cordialement.

  3. #3
    g_h

    Re : Fonction multiforme

    Déjà merci pour ta réponse !

    Citation Envoyé par martini_bird
    par fonction multiforme, tu entends une fonction qui prend plusieurs valeurs?
    oui, je parle bien de ça

    Citation Envoyé par martini_bird
    Cette notion peut être reformulée en voyant f comme une vraie fonction E → P(F) de E dans les parties de F.

    Mais je ne vois pas vraiment comment attacher la notion de surjection à une fonction multiforme.
    Juste par le fait que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut posséder "au moins un antécédent" par la fonction, ce qui rapelle la définition d'une surjection... non ?

    De wikipédia :

    Une fonction f est dite surjective ( ou que c'est une surjection , s'il s'agit d'une application ) lorsque :
    Ca avait l'air de coller... je ne comprends pas bien pourquoi ça ne pourrait pas être une surjection

  4. #4
    Quinto

    Re : Fonction multiforme

    On pourrait facilement définir la notion de surjection ainsi je pense:
    f est surjective de E dans F si pour tout élément f de F, il existe une partie X non vide de F telle que f soit dans X.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : Fonction multiforme

    Ce qui me chiffonne, c'est que ça ne correspond pas à la surjectivité de la "vraie" fonction E → P(F).

    EDIT: Croisement.

  7. #6
    martini_bird

    Re : Fonction multiforme

    Citation Envoyé par Quinto
    On pourrait facilement définir la notion de surjection ainsi je pense:
    f est surjective de E dans F si pour tout élément f de F, il existe une partie X non vide de F telle que f soit dans X.
    lol, et comme ça toutes les fonctions sont surjectives...

  8. #7
    g_h

    Re : Fonction multiforme

    Citation Envoyé par martini_bird
    Ce qui me chiffonne, c'est que ça ne correspond pas à la surjectivité de la "vraie" fonction E → P(F).
    Hmm, qu'est-ce que je dois en penser ?

    L'énoncé, c'était :
    Soient n et p 2 entiers naturels. On suppose p < n. Quel est le nombre de surjections d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments ?
    Sur le vif j'ai répondu 0, mais en pensant aux fonctions multiformes, le doute a germé... !

  9. #8
    martini_bird

    Re : Fonction multiforme

    OK.

    Par surjection, il faut à mon avis entendre fonction (donc une seule image) surjective.

    De fait, l'expression fonction multiforme relève de l'oxymore.

  10. #9
    g_h

    Re : Fonction multiforme

    Sinon, sur la même page de wikipédia ou j'ai trouvé la définition, il y a écrit :

    La correspondance réciproque d’une fonction f est une fonction ssi f est injective, et cette fonction réciproque est elle-même injective
    Or la réciproque d'une fonction qui n'est pas injective est bien une fonction multiforme ! Et dans cette apellation il y a bien le mot "fonction", non ? Ou alors c'est un abus de langage peut-être... (car de plus sur wikipedia il est bien question de "fonctions multiformes", comme dans l'article sur le logarithme complexe...)

    [edit : croisement...]

    De fait, l'expression fonction multiforme relève de l'oxymore.
    Tout deviendrait plus clair dans ce cas... !

    Merci!
    Dernière modification par g_h ; 15/08/2005 à 17h32.

  11. #10
    martini_bird

    Re : Fonction multiforme

    Oui, c'est un abus de langage hérité de temps immémoriaux.

    Les anciens distinguaient les fonctions univoques (nos vraies fonctions) des fonctions multiformes.

    Aujourd'hui, la notion de fonction multiforme est désuette, mais demeure (hélas) dans le langage pour désigner une fonction non univoque (encore une absurdité).

    Même pour le logarithme complexe, on préfère parler de revêtements.

    EDIT: croisement.

  12. #11
    Quinto

    Re : Fonction multiforme

    Citation Envoyé par martini_bird
    lol, et comme ça toutes les fonctions sont surjectives...
    Oui en effet, je me suis trompé dans ce que je voulais dire:

    f (multiforme) est (serait) surjective de E dans H, si pour tout élément h de H, il existe une partie Xh de H contenant h et un élément e de E telle que f(e)=Xh.

    Ca aurait du sens,
    A+

  13. #12
    martini_bird

    Re : Fonction multiforme

    Citation Envoyé par Quinto
    Oui en effet, je me suis trompé dans ce que je voulais dire:

    f (multiforme) est (serait) surjective de E dans H, si pour tout élément h de H, il existe une partie Xh de H contenant h et un élément e de E telle que f(e)=Xh.

    Ca aurait du sens,
    A+
    En d'autre termes, f : E → P(F) est pseudo-surjective (j'invente le nom pour éviter la confusion) si F est contenu dans la réunion des f(x), x E.

    Pourquoi pas, mais c'est une notion bien distincte de la surjectivité de f.

  14. #13
    Quinto

    Re : Fonction multiforme

    Disons que si f est surjective, alors f est pseudo surjective (avec tes définitions).
    Evidemment, on aurait pas l'inverse.

    Avec cette définition, on aurait alors par exemple, que la racine carrée est "pseudo surjective", et également injective.

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