Rayon de Courbure

[invite40d0f53c]

Bonjour,

Je voudrais savoir s'il était possible de connaître le rayon de courbure d'une courbe dans un plan euclidien en connaissant ses projections dans les plans xOy et xOz (par exemple). Donc s'il existe une formule entre les deux rayons de courbure des courbes projetées et celle en 3D. (intuitivement je dirais 1/R=1/R1+1/R2 mais bon).

Sinon, on peut retrouver l'equation de la courbe à partir des deux projections et en déduire la courbure par les formules de Fresnet mais c'est un peu long...

Merci d'avance.
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[indian58]

je crois que oui, je vais regarder.

[matthias]

Je n'ai pas l'impression que ça donne quelque chose d'aussi simple que 1/R = 1/R1 + 1/R2 sauf cas particuliers.
J'ai trouvé une relation vraiment ignoble dans laquelle je suis à peu près sûr qu'il y a des erreurs de calculs, mais je serais quand-même surpris que l'on puisse trouver quelque chose de simple.

[inviteb47fe896]

Je suppose que si l'on connaît les projections sur deux des plans du repaire, c'est que l'on connaît les coordonnées de chaque point dans le repaire à trois dimensions ; l'équation de la courbe peut en être déduite et, par conséquent, son rayon de courbure en un point.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40d0f53c]

En fait, dans le cas ou la courbe est localement plane, on a la relation R²=R1²+R2². Sinon j'ai reflechi à un autre moyen pour le calculer : avec les coordonnées des points.

On releve un certain nombre de points selon la précision souhaitée. On a donc x, y, z à un instant t, ensuite on en déduit x', y' et z' et x", y" et z" avec les formules de Taylor.

On sait que la vitesse V=VT donc l'acceleration A=V'*T+V²/R*N (dT=V/R*N)
D'ou V^A=V³/R*(T^N) donc R=V³/N(V^A)

Et la formule R=(x'²+y'²+z'²)^3/2/((x'y"-y'x")²+....)^1/2

Voilà Merci à vous ^^