L2 quadratique+réduction en carrés de Gauss

[invite4151b002]

Bonjour,

Je fais des excercices en ce moment sur la réduction en carrés d'une forme quadratique.

Avant je faisais cela un peu au "pif" mais je suis tombé sur une forme quadratique que je n'arrive pas à réduire en carrés 'comme ça'.

Alors j'ai essayé d'appliquer la formule de la réduction en carrés de Gauss. N'étant pas sûr de la validité de mon raisonnement et du résultat j'aimerais savoir si ce que j'ai trouvé est correct .

Voilà la forme quadratique:


On est donc dans le cas où il y a au moins un

Voilà ce que je trouve ensuite: (a=1)



Ce qui me chiffone en fait c'est le (le /2x1)

J'me fais des noeuds au cerveau pour rien? Ma réduction est exacte?

Merci .
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[invite4151b002]

Arf... un ami vient de trouver plus simple, sans utiliser la méthode (ou alors sans le vouloir):



Il semblerait que je n'ai pas bien compris la méthode de Gauss .

[invite8b04eba7]

Salut !

Pour faire une réduction de Gauss, il faut regrouper les termes qui contiennent x₁ puis x₂ etc.

Ici par exemple, tu écris

C'est un peu comme quand tu mets un polyôme du second degré sous forme canonique.

En continuant, ta forme quadratique s'écrit maintenant :

Tu ne touches plus au premier carré et tu écris

Et au final tu trouves

Quand tu as fini ta réduction de Gauss, tu dois avoir une somme de carrés de fonction linéaires. Les signes devant les carrés sont très importants : par exemple, s'il sont tous positifs, ta forme quadratique est définie positive. Ici, il y en a deux positifs et un négatif : on dit que la signature est (2,1).

[invite4151b002]

Merci pour la méthode, je crois que inconsciemment c'est ce que j'avais tendance à faire quand je faisais "au pif"

Par contre, ca s'applique aussi pour la réduction en carrés de Gauss sans ?

Comme par exemple:



Car là regrouper les ne mène pas loin semble t-il.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

oui mais il y a une petite astuce:
-2x1x2+2x1x3=-2(x1x3-x2x3)=-2(x1-x3)(x2+x3)+2x3²
et (x1-x3)(x2+x3)=((x1-x2)+(x2+x3))² - ((x1-x3)-(x2+x3))²
à un facteur près.

[invite4151b002]

Ok merci !