L3 maths - Systèmes différentiels & solution maximale

[invitea8fa3c8e]

Bonjour à tous

Voilà je suis en train de refaire qq partiels mais j'ai bcp de mal...

L'exercice concerne les solutions maximales
Voici l'énoncé :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie et A,B deux opérateurs linéaires de E. Soit t->c(t) une fonction continue définie sur
Si et on considère le système différentiel :
y'=(A+c(t)B)y
y(s)=x

On pose

1/ Montrer en utilisant un théorème du cours que ce système admet une unique solution maximale définie sur

Je pense qu'il s'agit de montrer que la fonction f(t;y)=(A+c(t)B)y est localement lipschitzienne uniformément en t Le petit soucis c'est que bêtement je n'arrive pas à m'en sortir... On doit montrer il me semble:



On a


A partir de là je ne sais pas si ce que je fais est bon Pourriez-vous m'éclairer svp ?

Comme A et B sont des opérateurs linéaires sur un espace de dimension finie leur norme est donc < + inf

De plus, si le raisonnement est bon ('localement lipschitzienne' ) peut-on simplement étudier la fonction f sur un intervalle fermé borné de R ainsi comme la fonction c est continue sur R elle l'est également sur l'intervalle considéré Donc elle est bornée et atteint ses bornes On peut alors la majorer par une constante Ainsi on obtient la relation souhaitée

Je ne sais pas si c'est très clair Pensez-vous que la démarche est la bonne ou suis-je totalement à côté ?

Pour la suite de l'exercice, on pose R(s,t)x la solution maximale.
2) On suppose que AB=BA Il faut montrer que pour tout (t;s) de R on a
exp((t-s)A)exp(B) = exp((t-s)A+B)

et

exp((t-s)A)Bexp(B) = Bexp((t-s)A+B)

Ici j'ai utilisé les exponentielles sous forme de série convergente et j'ai bien obtenu les égalités souhaitées

Montrer que
exp((t-s)A)exp(B) = (A+c(t)B)exp((t-s)A+B)

On a exp((t-s)A)exp(B) = exp((t-s)A + B)

Tout d'abord j'ai précisé que la fonction de gauche est bien dérivable en t comme composée et produit de fonctions dérivables en t donc le calcul peut se faire De plus la fonction c étant continue on peut en déduire que la dérivée de gamma est c(t) Après j'ai utilisé la définition de la dérivée ( lim qd h->0 [exp((t+h)T)-exptT]/h - Texp(tT) et j'ai montré que ça tendait vers 0 quand h->0 )


Il faut ainsi en déduire que R(s,t)=exp((t-s)A + B)

Ici j'ai fait une simple vérification en remplaçant y par R dans le système.

3) On supporse que E = et on identifie A et B dans la base B={(0,1);(1,0)} :

A= et B=

Il faut expliciter en fonction de t et la matrice de R

Alors on a R(s,t)=exp((t-s)A)exp(B)

Et exp(pA)=
exp(pB)=
Pour obtenir R on fait le produit des deux matrices obtenues avec pour A p=(t-s) et pour B p =
Je me demande si c'est vraiment la bonne solution vu que je me retrouve avec des cos(gamma) et des sin(gamma) ce qui donne des écritures relativement compliquées

Enfin il faut montrer que si vérifie t+-> - inf quand t->+ inf alors
R(s,t)x->0 quand t->+ inf

N'étant pas sûre de la forme de R je n'ai pas répondu à cette question pour le moment.

Voilà désolée pour la longueur de l'exercice. J'espère que vous pourrez m'éclairer sur les erreurs commises...

Merci d'avance
-----

[invitea8fa3c8e]

personne pour m'aider ?

[invite35452583]

Bonjour à tous

A= et B=

Je me demande si c'est vraiment la bonne solution vu que je me retrouve avec des cos(gamma) et des sin(gamma) ce qui donne des écritures relativement compliquées

Bonjour,

Le 1) me paraît très bien, très bonne manip de la localité.
Le 2) rien à dire à part très bien
Le 3)
i) je suppose que c'est un produit entre et les matrices : c'est cohérent avec les racines des poly caractéristiques
ii) je ne vois pas pourquoi les solutions auraient une forme plus sympathique, je trouve même qu'on s'en sort à bon compte
iii) avec la solution trouvée le dernier résultat est un simple ju sur les exponentielles (la norme des matrices est ...)

Ca serait mieux qu'un "vrai" analyste confirme mais ça me paraît tout bon tout ça.

Cordialement

[invitec314d025]

Pour la première question, je pense que tu te compliques la vie. C'est une équation linéaire. Or t -> A+c(t)B est continue de R dans L(E), ce qui suffit à conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea8fa3c8e]

Merci Matthias !
Pour la 1ère question, j'ai juste à dire que t->A+c(t)B est continue de R dans L(E) donc + particulièrement sur un compact. Continue + compact => fonction bornée atteignant ses bornes et ainsi on a l'inégalité voulu c'est ça ?
Pour le reste de l'exercice je vais mettre ça au propre pour voir si j'ai encore des soucis Merci!

J'aurai une autre petite question qui concerne un autre exercice ( en fait je ne sais pas comment m'y prendre )
On me demande de vérifier les hyp du théorème de Cauchy-Lipschitz rigoureusement puis de montrer que toutes les solutions maximales sont définies sur R Voici les deux systèmes proposés :

y'=sin(ex+ey)




Je me demandais si je devais traiter chaque variable x'=f1(x,y) puis y'=f2(x,y) Montrer que f1 est localement lipschitzienne par rapport à x; f2 par rapport à y. Ou dois-je procéder autrement ?
Je me demandais aussi si le fait que les fonctions sont continues ne suffirait pas ici vu qu'on ne parle pas d'unicité de la solution maximale ?!

Merci d'avance pour le coup de main !

[invitec314d025]

Pour la 1ère question, j'ai juste à dire que t->A+c(t)B est continue de R dans L(E) donc + particulièrement sur un compact. Continue + compact => fonction bornée atteignant ses bornes et ainsi on a l'inégalité voulu c'est ça ?

Moi je pensais tout simplement à un théorème spécifique aux équa diff linéaires (généralement on fait ça avant d'attaquer les théorèmes plus généraux comme Cauchy-Lipschitz). Tu n'a pas ça dans ton cours ?

[invitea8fa3c8e]

On a directement le théorème d'existence et d'unicité de Cauchy-Lipschitz Après tous les autres théorèmes reprennent ses hypothèses surtout quand on parle d'unicité. La fonction est de toute manière définie comme continue mais il faut qu'elle soit lipschitzienne pour démontrer l'unicité de la solution maximale ( à moins que j'ai rien compris ce qui peut être envisageable )

[invitec314d025]

Bon, si tu veux le faire avec Cauchy-Lipschitz, tu peux simplement dire qu'en dimension finie toutes les applications linéaires sont lipschitziennes.
Mais alors il te faut aussi redémontrer que la solution maximale est définie sur R.

[invitea8fa3c8e]

On a toujours utilisé le théorème de C-L en fait et comme on n'a que cet outil pour montrer l'unicité de la solution maximale... Par contre pour montrer qu'elle est définie sur R, je suppose par l'absurde que l'intervalle est ]a;b[ et je regarde les limites t->b- et quand t->a+ J'obtiens des limites infinies ce qui est contradictoire avec le fait qu'elle est continue bornée et ainsi j'obtiens que l'intervalle est R ?! Désolée de poser toutes ces questions

Au fait tu n'as pas d'idée pour le deuxième pb stp ???

[invitec314d025]

Par contre pour montrer qu'elle est définie sur R, je suppose par l'absurde que l'intervalle est ]a;b[ et je regarde les limites t->b- et quand t->a+ J'obtiens des limites infinies ce qui est contradictoire avec le fait qu'elle est continue bornée et ainsi j'obtiens que l'intervalle est R ?

Oui c'est l'idée. Pour la démo exacte, ça dépend des théorèmes que vous avez. Moi je fais ça avec le lemme de Gronwall et le théorème de sortie des compacts.

Sinon, excuse moi, j'ai un peu la flemme de regarder le deuxième problème ...

[invitea8fa3c8e]

Merci de ton aide en tout cas Bonne fin d'après midi

[invite8b04eba7]

Salut !

Ça m'a l'air bon, à ceci près que que l'argument "composée de fonctions dérivables" doit être précisé : exp n'est pas une fonction dérivable mais une fonction différentiable (en fait, comme c'est la somme d'une série entière, elle est sur tout disque fermé strictment inclus dans son disque de convergence (ici sur M_n(R) tout entier)).

3) On supporse que E = et on identifie A et B dans la base B={(0,1);(1,0)} :

A= et B=

Il faut expliciter en fonction de t et la matrice de R

Alors on a R(s,t)=exp((t-s)A)exp(B)

Et exp(pA)=
exp(pB)=

Je ne comprends pas très bien ce que tu as écrit, mais les matrices A et B ne sont pas des matrices de rotation, mais des matrices de similitude (un scalaire * une rotation). Pour A, c'est une rotation d'angle et pour B d'angle . Typiquement, de telles matrices correpondent à des nombre complexes :

Cette correspondance est un morphisme de corps. Vous allez me dire, où est-ce qu'il veut en venir l'algébriste ? Et bien pour le coup, calculer l'exponentiel d'un nombre complexe, on sait faire ! Donc, par exemple pour A (je prends la plus facile, bien sûr), ça donne

et donc

Libre à toi de faire les modifications s'il y a un scalaire devant ; je te donne quand même

Tu devrais être capable de finir l'exo avec ça, si je ne me suis pas trompé...

[invite8b04eba7]

En fait je viens de me rendre compte que tes matrices étaient les mêmes que les miennes (enfin presque parce que j'ai confondu A et B)

[invitea8fa3c8e]

Merci à toi doudache !